Dans le bulletin de l’APMEP (BV) 480 p 60 ,Louis Rivoallan a formulé une conjecture relativement à la fonction Q définie par Q(M)=aire(OaObOc)/aire(ABC);où M est un point du plan ABC distinct de A,B,C ; Oa,Ob,Oc sont les centres respectifs des cercles circonscrits de (MBC) (MCA) (MAB).J'ai démontré que l'ensemble des points M tels que Q(M)=|k| sont des quartiques bicirculaires (Lk) .Cette étude a été reprise et publiée dans le BV 491 p725 :Q(M)=µ( en aires algébriques). Dans les deux versions (Lk) ou (Lµ) sont définies analytiquement, mais avec des repères différents, et construites à l'aide d'un paramétrage obtenu en coupant les courbes par une droite pivotant autour de A.                        N’étant pas très satisfait de la construction obtenue, j’ai trouvé un dessin de (Lk) simple rapide et peu calculatoire et qui de plus met en évidence l'orthocentre H de (ABC) (on savait déjà:(L1)={H} ). Avec GeoGebra la construction est facile  (cf <<dessin F.D. (Lk) et H>>) : On privilégie deux sommets d'angles aigus par exemple B et C. Nc est un point variable sur le cercle (cH) de centre H et de rayon rc.K , avec K=sqrt((k-1)/k) et rc=2R cos(C) ,R rayon du cercle (cO) de centre O circonscrit à ABC. Nb est image de Nc dans la similitude directe de centre H ,d'angle ([BC[;[BA[ )+( [CA[;[CB[ ) ,        de rapport cos(B)/cos(C) .(Lk) est le lieu géométrique des points M intersection des droites (CNc) et (BNb) lorsque Nc décrit le cercle (cH).Les dessins confirment les résultats connus :                                         pour K=0 :(L1)={H}  ;   pour K=1 : (L+/-oo)=(AB)U(BC)U(CA) ;   pour K =+oo: (L0)=(cO)                      Mais cette construction a été obtenue après des démarches très longues ,à savoir un paramétrage de (Lk) rationnel en cos(t) et sin(t), t repérant Nc sur (cH).De plus un logiciel de calcul formel (Maple) m’a été indispensable, des calculs de développements étant impossibles à la main.
          Epilogue ….    Bernard Gibert a mis un point final à ce problème.                                En contournant tout paramétrage, il a établi rapidement des dessins très simples et sans calcul, voici ses deux solutions:                                                                       1°)Analytique :on utilise les coordonnées barycentriques pour établir l'équation de la quartique,                            16k(aireABC)^2 .x y z(x+y+z)=(a^2.yz +b^2.zx+c^2.xy)^2 . On voit tout de suite qu'elle est bicirculaire avec A,B,C points doubles. Son isogonale , 16 k(aireABC)^2.(a^2. yz+b^2. zx+c^2 .xy)=a^2. b^2 .c^2.(x+y+z)^2  est un cercle de centre O et de rayon R.K  {R rayon de (cO) et K=sqrt((k-1)/k)}.                                                                                    Il suffit de tracer ce cercle et de le transformer par isogonalité (*) ce qui est très simple:                                                                                                                                                                   voir les deux dessins GeoGebra <<dessin B.G.(Lk) passant par M>> ;<<dessin B.G.(Lk) ,K variable>> .                        2°)Entièrement géométrique: si AmBmCm est le triangle antipodaire de M, si PaPbPc est le triangle podaire de M*=isogonal de M , alors :                                                                                                                                                          1° OaObOc et AmBmCm sont homothétiques en M ,de rapport 2 ;                                                                       2° AmBmCm et PaPbPc sont homothétiques et le produit de leurs aires est (aireABC)^2 ;                        3° l'aire de OaObOc est donc :(aireABC)^2/(2(airePaPbPc) ;                                                                                   4° le lieu des points M* tels que l'aire de PaPbPc est constante est un cercle de centre O ;                      5°le lieu des points M est donc l'isogonale de ce cercle soit un quartique bicirculaire de noeuds A,B,C. 
  Je tiens à remercier ,Pierre Auffray en particulier pour la création d'un logiciel Maple donnant une solution approchée d'un système quelconque de n équations à p inconnues p<=n, Marc Roux qui a suivi mon travail, Robert Ferréol auteur du site internet "mathcurve" (**)et bien sûr Bernard Gibert. 
        François Duc : e-mail frsidu@orange.fr                                                                        Le site internet de Bernard Gibert est : http://bernard.gibert.pagesperso-orange.fr/ . 
(*)La transformation par isogonalité est l’involution qui à M fait correspondre M’ intersection des droites (BMb) et (CMc), Mb et Mc étant les symétriques respectifs de M par rapport aux bissectrices intérieures des angles B et C du triangle ABC .                                                                                   (**)Les équations et le dessin géométrique de la courbe« poisson », répertoriée dans« mathcurve », sont au point de départ du paramétrage trigonométrique.