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COURBE D'ALAIN

Courbe dont l'étude a été proposée par Alain Juhel.

 
Équation cartésienne : .
Quartique rationnelle.
Équation polaire : .
Pour a > b  : équation polaire  avec  et .
Pour 0 < a < b : équation polaire  avec  et .

La courbe d'Alain est la courbe définie par l'équation cartésienne ci-dessus.
Voici ses différentes allures :
 
cas b = 0
cas 0 < b < a

Réunion des deux hyperboles .
cas b = a
cas  b > a > 0

Hyperbole  et ses asymptotes.

Lemniscate cylindrique.

 
La courbe d'Alain est la projection sur le plan xOy de l'intersection du cône elliptique : avec le paraboloïde hyperbolique :.

 
Dans le cas a < b, cette courbe est aussi la projection plane de l'intersection de deux cylindres de révolution à plan tangent en commun, le plan de projection étant ce plan commun.

Plus précisément, la projection sur le plan xOy des cylindres  avec  est la courbe d'équation .

.


Voir aussi les courbes de Booth, images des précédentes par une affinité complexe.
Ci-dessous, animation des courbes d'Alain , en rouge, avec les lemniscates de Booth , en vert.

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© Robert FERRÉOL  2016