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COURBE DE BÉZIER
Bezier curve, BezierKurve

Courbe étudiée par Pierre Bézier en 1956 et, indépendamment, par Paul de Casteljau en 1958.
Pierre Bézier (1910 - 1999) : ingénieur à la régie Renault.
Regarder énoncé centrale PC 99.

 
Paramétrisation affine :   (soit ) où les  sont les polynômes de Bernstein : .
Courbe algébrique polynomiale de degré £ n.
Courbure en A0 .

Une ligne brisée  étant donnée (appelée polygone de contrôle, les Ak étant les points de contrôle), la courbe de Bézier (polynomiale) associée est la courbe de paramétrisation ci-dessus ; la courbe passe par A0 (pour t = 0) et An (pour t = 1), et la portion qui joint ces points est tracée dans l'enveloppe convexe des points de contrôle ; la tangente en A0 est (A0A1) et celle en An (An-1An).

Toute droite coupe la courbe en au plus autant de points qu'il y a de sommets dans le polygone de contrôle.

Construction récursive (algorithme de de Casteljau, ingénieur chez Citroën) :
Le point  est le barycentre de  et  où  sont les points courants respectifs des courbes de Bézier de polygone de contrôle  et  ; de plus la droite  est la tangente en  à la courbe de Bézier.

Réciproquement, toute courbe algébrique polynomiale est une courbe de Bézier avec unicité du polygone de contrôle associé, une fois les extrémités de ce polygone choisies arbitrairement sur la courbe.

Voici un exemple de courbe de Bézier fermée avec sa courbe de contrôle en rouge :

Est-ce un cercle ?

Non ! Comme il y a 6 points de contrôles (avec A0 = A5), c'est une quintique ; la voici en (presque) totalité, avec aplatissement :

Les courbes de bézier sont utilisées dans les logiciels de dessin comme illustrator, avec l'outil "pen tool" ; ci-contre cet outil à permis de tracer la courbe de Bézier cubique de polygône de contrôle ABCD.

Les courbes de Bézier sont des cas particuliers de courbes splines et se généralisent en les courbes de Bézier rationnelles.
Voir aussi les courbes de Lagrange. les courbes de Bézier 3D, les surfaces de Bézier.

Lien : Une superbe appliquette java traçant les courbes de Bézier (bien cocher "construction" pour voir la construction par l'algorithme de de Casteljau).

Regarder aussi :
 www.people.nnov.ru/fractal/Splines/Bezier.htm
demonstrations.wolfram.com/SimpleSplineCurves
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2000