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CARTÉSIENNE
Cartesian curve, Kartesische Kurve


René Descartes (1596-1650) : philosophe, mathématicien et physicien français.
Salmon.

 
Équation cartésienne réduite : .
Si , l'équation prend la forme :

et une définition cyclique a pour cercle déférent le cercle de centre O et de rayon R,
pour cercle directeur le cercle de centre A(a,0) et de rayon , et pour puissance d'inversion p

Quartique bicirculaire.

Dans le repère (A) :
Équation cartésienne :  .
Équation polaire : .

Les cartésiennes sont les quartiques bicirculaires ayant deux points de rebroussement à l'infini.
Ce sont les courbes ayant une définition cyclique dont la déférente est un cercle (appelé cercle déférent) ; ce sont, autrement dit, les enveloppes de cercles dont le centre décrit le cercle déférent, et tels qu'un point fixe ait une puissance constante par rapport à ces cercles.
Lorsque p < 0, on obtient les ovales de Descartes complets véritables (???).

Discussion pour = rayon du cercle directeur :
 - lorsque le cercle déférent est intérieur au cercle directeur (), la courbe n'a pas de point réel.
 - lorsque le cercle directeur est non réduit à un point et intérieur ou extérieur au cercle déférent ( ou  et ) on obtient de nouveau (et deux fois) les ovales de Descartes complets véritables.
 - lorsque les cercles directeurs et déférents sont sécants en deux points distincts B et C (), on obtient les cartésiennes dites spéciales, qui ont une équation tripolaire :  avec ?? ; ces courbes sont des inverses d'ovales de Descartes.
 - lorsque le cercle directeur est réduit à un point ou tangent au cercle déférent ((  ou  r = 0), on obtient un limaçon de Pascal.

En résumé, la famille des cartésiennes est constituée des ovales de Descartes complets et de leurs inverses.
 
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2000