Courbe étudiée par Cassini en 1680 et Malfatti en 1781. Nom famillier : yeux de chat. Jean-Dominique Cassini (1625-1712) : astronome français. Extrait des Eléments d'astronomie de Jean Cassini (1740) : Depuis l'observation exacte de la grandeur apparente des diamètres du soleil, mon père a trouvé une autre courbe différente de l'ellipse, qui sert à représenter fort exactement les mouvements vrais du Soleil, et ses diverses distances à la Terre. Il suppose que la terre étant placée à l'un des foyers de cette courbe, le soleil la parcourt par son mouvement propre, de manière que tirant de son centre aux deux foyers de la courbe deux lignes droites, le rectangle fait sur ces deux lignes soit toujours égal au rectangle fait sur la plus grande et  la plus petite distance du Soleil à la Terre. Extrait de l'Encyclopédie de d'Alembert, T. 1 page 633 (1784) : Cette courbe que M. Cassini avait voulu introduire dans l'astronomie, n'est plus qu'une courbe purement géométrique et de simple curiosité ; car on sait que les planètes décrivent des ellipses appolloniennes ou ordinaires. On demandera peut être par quelle raison M. Cassini avait substitué cette ellipse à celle de Kepler. Voici ma conjecture sur ce sujet. On sait que la plupart des planètes décrivent des ellipses peu excentriques. On sait aussi que dans une ellipse peu excentrique les secteurs faits par les rayons vecteurs à un foyer sont proportionnels à très peu près aux angles correspondants faits à l'autre foyer, et c'est sur cette propriété que Ward a établi la solution approchée du problème qui consiste à trouver l'anomalie vraie d'une planète, l'anomalie moyenne étant donnée. Le rapport du secteur à infiniment petit à l’angle correspondant est comme le rectangle des deux lignes menées au foyer, et dans un ellipse peu excentrique, ce rectangle est à peu près constant : voilà le principe de Ward. Or M. Cassini paraît avoir raisonné ainsi : puisque le rapport des secteurs élémentaires aux angles correspondants est comme ce rectangle, il sera constant dans une courbe où le rectangle serait constant. Il a en conséquence imaginé la cassinoïde.

 

Équation bipolaire :  , le pôle O étant le milieu du bipôle (F', F) , avec a = OF = OF'. Paramétrisation cartésienne :  (t = r). Équation polaire :  soit en posant ,  , l'équation avec " - " ne donnant des points réels que lorsque e £ 1 , avec . Équation cartésienne : , ou  soit encore :. Quartique bicirculaire elliptique (rationnelle pour e = 1). Rayon de courbure : . Les points d'inflexions sont donc situés sur la lemniscate :  Aire pour e ³ 1 :   (intégrale elliptique de deuxième espèce).

Les ovales de Cassini sont les lieux des points du plan dont la moyenne géométrique des distances à 2 points, les foyers, est constante (= b).

Ce sont donc aussi les lignes de champ du champ vectoriel , somme de deux champs orthoradiaux en 1/r.
 

Dans le cas e < 1 (b <  a): l'"ovale" est formé de 2 courbes en forme d'oeufs symétriques par rapport à O, d’équations tripolaires :

 où,  ;

La courbe est dans ce cas anallagmatique : conservation par l'inversion de centre O et de puissance   ; on a donc une génération cyclique : la déférente est l'hyperbole  avec  et  , et le cercle directeur (de rayon Öp) en est le cercle de Monge.

L' ovale de Cassini comme enveloppe des cercles centrés sur une hyperbole et orthogonaux à son cercle de Monge.

Cas e = 1 (b =  a) : c’est la lemniscate de Bernoulli (ici :)

Dans le cas e > 1, l'ovale de Cassini réel n'est plus anallagmatique, mais la courbe complexe l'est encore, avec une puissance d'inversion complexe.

Cas  () :  l’ovale a alors la forme d’une "ellipse" déprimée aux deux sommets du petit axe.

Cas () : l’ovale a enfin la forme ovale, tendant vers une forme circulaire quand e augmente.

Dans le cas e < 1, l'équation  se met aussi sous la forme , où   et (théorème de Wangerin).

Les ovales de Cassini sont aussi les sections du tore par les plans parallèles à l’axe situés à une distance de l'axe égale au rayon mineur du tore (ici, section d’un tore de rayon majeur R = a et de rayon mineur   par un plan situé à une distance r de l'axe - le tore est donc croisé pour ) ; voir à spirique de Persée.
 

Les lignes de champ du champ magnétique créé par deux fils parallèles parcourus par un courant de même intensité et de même sens sont, dans chaque plan orthogonal aux fils les ovales de Cassini de foyers les points d'intersection avec les fils ; idem pour les équipotentielles du champ électrostatique créé par deux fils parallèles uniformément chargés avec des charges identiques.

Les trajectoires orthogonales des ovales de Cassini sont les hyperboles équilatères d'équation polaire   ; ce sont les lignes de champ électrostatique dans l'interprétation physique ci-dessus.

Si dans la définition des ovales de Casini on remplace la moyenne géométrique par la moyenne arithmétique on obtient les ellipses, et si on la remplace par la moyenne harmonique, on obtient les ovales de Cayley.

Voir la généralisation que constituent les cassiniennes, comparer aussi avec les courbes de Booth et regarder les surfaces de Cassini.

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2006