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COURBE DE CATALAN
Catalan's curve, catalansche Kurve

Courbe étudiée par Catalan en 1856, et par C. Masurel en 2013.
Eugène Charles Catalan (1814-1894) : mathématicien belge.

 
Zoom sur la boucle.
Équation polaire : .
Abscisse curviligne : .
Rayon de courbure : .

 
Une branche de la courbe permet de parcourir un demi-cercle.
La courbe de Catalan est la solution au problème suivant : trouver la courbe qui, roulant sans glisser sur une droite D, possède un point de son plan qui décrive un cercle tangent à D.

En simplifié, la courbe de Catalan est solution du problème de la roulette circulaire.

D'après le théorème affirmant que les glissettes à base rectiligne d'une courbe sont les roulettes à base rectiligne de la développée de cette courbe, la courbe de Catalan est la développée de la spirale tractrice (qui est, elle, solution du problème de la glissette circulaire).

Le calcul de l'abscisse curviligne montre que la courbe de Catalan est une solution de l'équation , dont l'autre solution est le cercle.

L'équation polaire mise sous la forme  montre que c'est la médiane polaire de deux spirales hyperboliques.

Si l'on souhaite qu'un point du plan de la courbe roulante décrive un cercle non tangent à la base, on obtient une courbe roulante d'équation polaire   où a est le rayon du cercle et d la distance du centre du cercle à la base.
C'est une polygastéroïde, développée de tractoire de cercle.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2013