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CONTOUR APPARENT D'UNE SURFACE
Visible outline of a surface, scheinbarer Umriß einer Fläche


Vue d'un ellipsoïde et de 3 de ses contours apparents, pour des observateurs situés à l'infini, suivant Ox, Oy, Oz et les cylindres de contact correspondants.  

 
Une direction D étant choisie, on appelle contour apparent d'une surface (S), dans cette direction et pour un observateur à l'infini, le lieu des projetés sur un plan P perpendiculaire à D des points de la surface pour lesquels le plan tangent est parallèle à D.

Le contour apparent est donc aussi :
    - l'intersection avec P du cylindre de contact de la surface dans la direction D, formé des droites parallèles à D et tangentes à (S).
    - l'enveloppe des sections avec P des plans tangents parallèles à D
    - l'enveloppe des projections sur P des courbes de niveau de la surface associées à la direction D
    - plus généralement, l'enveloppe des projetés sur P de toute famille de courbes engendrant la surface.

Certains auteurs désignent par contour apparent le lieu sur la surface des points à plan tangent parallèle à Oz ; nous le désignerons par contour apparent réel, l'autre étant alors dit projeté.

Une direction D étant choisie, on appelle contour apparent d'une surface (S), dans cette direction et pour un observateur placé en A, le lieu des projetés de sommet A sur un plan P perpendiculaire à D et ne passant pas par A des points de la surface pour lesquels le plan tangent passe par A.

Le contour apparent est donc aussi :
    - l'intersection avec P du cône de contact de la surface dans la direction D, formé des droites passant par A et tangentes à (S).
    - l'enveloppe des sections avec P des plans tangents passant par A
    - l'enveloppe des projetés coniques de centre A sur P de toute famille de courbes engendrant la surface.
Remarquons que le contour apparent reste semblable à lui même lorsque le plan P varie.
Certains auteurs désignent par contour apparent le lieu sur la surface des points à plan tangent passant par A ; nous le désignerons par contour apparent réel, l'autre étant alors dit projeté.


 
Contour apparent dans la direction de Oz et pour un observateur placé à l'infini :
si la surface est définie par l'équation cartésienne (1) : f(x,y,z)=0, l'équation du  contour s'obtient en éliminant z entre (1) et (2) : .
Si elle est définie paramétriquement par (M(u,v)), on obtient v = v(u) en écrivant  et la paramétrisation du contour apparent est x = x(u,v(u)), y = y(u,v(u)).
Contour apparent dans la direction de Oz et pour un observateur placé en A(0,0,a) :
si la surface est définie par l'équation cartésienne (1) : f(X,Y,Z)=0, l'équation du contour dans le plan xOy s'obtient en éliminant X,Y, et Z entre (1), (2) :  et (3) : .
Si elle est définie paramétriquement par (M(u,v)), on obtient v = v(u) en écrivant , et la paramétrisation du contour apparent est x = x(u,v(u)), y = y(u,v(u)).

Exemples :

    - les contours apparents d'une sphère sont des cercles (et réciproquement, une surface dont tous les contours apparents pour des observateurs à l'infini sont circulaires est une sphère).
    - les contours apparents (réels ou projetés, à distance finie ou non) d'une quadrique sont des coniques (ils sont donc plans)
    - les contours apparents d'une surface algébrique de degré n sont des courbes algébriques de degré n(n - 1) (?).
    - le contour apparent d'un tube est formé de deux courbes parallèles à la projection sur xOy de la courbe centrale ; en particulier les contours apparents du tore sont les courbes parallèles à l'ellipse, d'où leur nom de toroïdes.
 
 
 
Ci-contre, vue d'une surface avec ses contours apparents  pour un observateur situé à distance finie, le réel en bleu et le projeté en noir, avec à droite le cône de contact.

Ci-dessous des vues du bonnet croisé avec 3 contours apparents pour des observateurs situés à l'infini, suivant Oz (en rouge), suivant Ox (en bleu) et suivant Oy (en jaune).
 
 
 

 

L'intersection de 3 cylindres d'axes perpendicualires a trois contours apparents à l'infini suivant ces 3 axes qui sont des cercles de mêmes rayons mais n'est pas une sphère.
Image : Alain Esculier.

Cette sphère boursoufflée, d'équation sphérique  possède la même propriété, tout en ayant un plan tangent en tout point.

On définit en topologie une notion voisine : le contour apparent d'une partie X de l'espace est la frontière du projeté de X sur un plan P, projeté orthogonal pour un observateur à l'infini, projeté de centre A pour un observateur en A. Les deux notions coïncident par exemple si X est une surface de classe C1,  frontière d'un convexe de l'espace.
 
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© Robert FERRÉOL 2008