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DÉVELOPPANTE D'UNE COURBE PLANE
Involute of a plane curve, Evolvente einer ebenen Kurve

Notion étudiée par Fontenelle en 1712 (qui lui a donné son nom), puis par Cesaro en 1888.

 
Si M0 est le point courant de (G0), le point courant M d'une développante est le lieu des points , ce qui donne :
Paramétrisation cartésienne : .
Paramétrisation complexe : .
Rayon de courbure : .

Les développantes d'une courbe plane (G0) sont les courbes tracées par l'extrémité d'un fil tendu le long de (G0) et s'enroulant le long de (G0) ; autrement dit, ce sont les traces dans le plan d'un point d'une droite pivotant sans glisser sur (G0) (ce sont donc des cas particuliers de roulettes).

Ce sont donc aussi les trajectoires orthogonales de la famille des tangentes à la courbe, ou encore les courbes dont la courbe de départ est la développée.

Les développantes d'une courbe sont des courbes parallèles entre elles.

On notera (cf. figure ci-dessus) qu'un point d'inflexion de la courbe de départ donne naissance à un point de rebroussement de deuxième espèce dans la développante, comme l'avait déjà fait remarquer le Marquis de l'Hospital en 1696 (voir ce texte).

Exemples : (voir aussi à développée)
 
courbe de départ origine développante, ou l'une d'entre elles
cercle quelconque développante de cercle !
point quelconque cercle
cycloïde sommet la même cycloïde translatée
cardioïde sommet cardioïde semblable dans le rapport 3
néphroïde sommet néphroïde semblable dans le rapport 2
néphroïde point de rebroussement sextique de Cayley
épicycloïde de paramètre q sommet épicycloïde semblable dans le rapport (q + 2)/q
deltoïde sommet deltoïde semblable dans le rapport 1/3
astroïde sommet astroïde semblable dans le rapport 1/2, croix de Malte
hypocycloïde de paramètre q sommet hypocycloïde semblable dans le rapport (q-2)/q
spirale logarithmique centre spirale logarithmique 
chaînette sommet tractrice
logarithmique quelconque développante d'exponentielle
développante de cercle point de rebroussement spirale de Norwich

Voir la généralisation aux courbes 3D.
 
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© Robert FERRÉOL 2016