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GENRE D'UNE COURBE ALGÉBRIQUE
Genus (or deficiency) of an algebraic curve, Geschlecht einer algebrische Kurve


Synonyme : déficience.

Le genre d'une courbe algébrique plane de degré n est  l'entier  diminué des ordres de multiplicité des points singuliers de la courbe dans le plan projectif complexe.

C'est le genre de cette courbe considérée comme une surface (i.e. une variété de dimension 2) du plan projectif complexe, qui est lui une variété de dimension 4 (voir à genre d'une surface).

Une courbe réelle de genre g est donc la section d'un tore à g trous par un plan et possède par conséquent en général et au maximum g + 1 composantes connexes dans le plan projectif réel.

D’après le théorème de Harnack (1878), on peut trouver pour tout degré des courbes ayant g + 1 composantes connexes réelles (et le 16ème problème de Hilbert demandait de classifier ces courbes).
Voir des exemples à quartique.
 

Les courbes de genre nul sont les courbes rationnelles, paramétrisables par des fonctions rationnelles, et les courbes de genre 1, les courbes elliptiques, paramétrisables par des fonctions elliptiques ; les courbes de genre maximum   sont les courbes lisses.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2006