courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

QUARTIQUE DE KLEIN
Klein quartic, kleinsche Quartik

Courbe étudiée par Klein en 1879 (Uber die Transformationen siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen, Math. Ann. 14 (1879), 428-471. Œuvres, Tome III, p. 90-136).
Félix Klein (1849-1925) : mathématicien allemand.
Webographie :
en.wikipedia.org/wiki/Klein_quartic
mathworld.wolfram.com/KleinQuartic.html
math.univ-lyon1.fr/~germoni/memoires/stage_Le.pdf

1) La quartique affine de Klein :
Équation cartésienne :  où 
de sorte que pqr = 0 est la réunion de 3 droites formant un triangle équilatéral centré en O.
Quartique de genre 3.
Équation polaire : .

REM 1 : la quartique passe par les trois points d'intersection du cercle  avec les 3 droites précédentes et est tangente (doublement) à ces 3 droites en ces 3 points.
REM 2 : c'est une courbe de Goursat.

Comparer avec la définition de la surface de Kummer.


 

Cas , avec illustration de la remarque 1.

La même courbe, représentée avec sa hessienne, coupant la courbe en ses points d'inflexion. Lorsque , ce qui est le cas ici, les tangentes aux points d'inflexion sont paralèles à un axe de symétrie.


 
 
La quartique de Klein (affine) est la courbe ci-dessus dans le cas particulier où .

Elle a la particularité que les tangentes aux 6 points d'inflexion (en vert ci-contre) passent par un autre point d'inflexion et forment deux triangles équilatéraux.

Comparer avec la quartique de Loriga (qui a la même propriété, mais qui est différente).

2) La quartique projective de Klein (projectivement équivalente à la précédente) :
 
Équation homogène : 

 
Vues du cône: (que l'on peut désigner par "cône de Klein") coupé par le plan , donnant une réalisation affine de la quartique projective de Klein (différente de celle du 1)).
L'équation cylindrique de ce cône dans un repère où Oz est l'axe de rotation est :
.

Cône de Klein, par Alain Esculier


courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL 2014