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QUARTIQUE DE KLEIN
Klein quartic, kleinsche Quartik

Courbe étudiée par Klein en 1879 (Uber die Transformationen siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen, Math. Ann. 14 (1879), 428-471. Œuvres, Tome III, p. 90-136).
Félix Klein (1849-1925) : mathématicien allemand.
Webographie :
en.wikipedia.org/wiki/Klein_quartic
mathworld.wolfram.com/KleinQuartic.html
www.umpa.ens-lyon.fr/JME/Vol1Num1/artCBavard/artCBavard.pdf
euler.ac-versailles.fr/webMathematica/reflexionpro/conferences/klein/Klein.pdf
math.univ-lyon1.fr/~germoni/memoires/quartique.pdf

1) La quartique affine de Klein :
Équation cartésienne :  où 
de sorte que pqr = 0 est la réunion de 3 droites formant un triangle équilatéral centré en O.
Quartique de genre 3.
Équation polaire : .

REM 1 : la quartique passe par les trois points d'intersection du cercle  avec les 3 droites précédentes et est tangente (doublement) à ces 3 droites en ces 3 points.
REM 2 : c'est une courbe de Goursat.

Comparer avec la définition de la surface de Kummer.


 

Cas , avec illustration de la remarque 1.

La même courbe, représentée avec sa hessienne, coupant la courbe en ses points d'inflexion. Lorsque , ce qui est le cas ici, les tangentes aux points d'inflexion sont paralèles à un axe de symétrie.


 
 
La quartique de Klein (affine) est la courbe ci-dessus dans le cas particulier où .

Elle a la particularité que les tangentes aux 6 points d'inflexion (en vert ci-contre) passent par un autre point d'inflexion et forment deux triangles équilatéraux.

Comparer avec la quartique de Loriga (qui a la même propriété, mais qui est différente).

2) La quartique projective de Klein (projectivement équivalente à la précédente) :
 
Équation homogène : 

 
Vues du cône: (que l'on peut désigner par "cône de Klein") coupé par le plan , donnant une réalisation affine de la quartique projective de Klein (différente de celle du 1)).
L'équation cylindrique de ce cône dans un repère où Oz est l'axe de rotation est :
.

Cône de Klein, par Alain Esculier


 
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© Robert FERRÉOL 2014