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LIMAÇON DE PASCAL
Pascal's limaçon (or snail), Pascalsche Schnecke
cercle, limaçon à boucle, cardioïde, limaçon haricot, et 2 limaçons convexes

Courbe étudiée par Dürer en 1525 (sous le nom d'arachnée), Étienne Pascal et Roberval (qui a donné le nom à la courbe) en 1650.
Étienne Pascal (1588 -1651) : magistrat et mathématicien amateur, père de Blaise.

 
Équation polaire :  (a, e > 0) .
Paramétrisation complexe :  ().
Équation cartésienne : .
Quartique bicirculaire rationnelle (point singulier en O).
Aire pour e1 : .

 
Les limaçons de Pascal sont les conchoïdes d'un cercle relativement à l'un de ses points O (ici, le cercle est de diamètre [OA] avec A(ea, 0)).

D'où la construction mécanique suggérée ci-contre, à partir d'un bâton de longueur 2a coulissant par un point d'un cercle de diamètre ea et dont le milieu est astreint à parcourir le cercle.

Les courbes prennent différentes formes suivant les cas :
 
e < 1: limaçon elliptique (inverse d’une ellipse par rapport à son foyer), ou à point isolé, ou acnodal ;
     .e < 1/2 : courbe convexe qui "tend"  vers le cercle C(O, a) quand e tend vers 0
     .e = 1/2 : limaçon de Pascal à méplat. 
      .1/2 < e < 1 : courbe en forme de haricot ;
e = 1 : limaçon cuspidal plus communément appelé cardioïde.

e > 1 : limaçon hyperbolique (inverse d’une hyperbole par rapport à son foyer) ou à boucle, ou crunodal ; c'est une courbe fermée avec boucle ; pour e = 2, on obtient le limaçon trisecteur, qui est aussi une rosace.

cercle, limaçon à boucle, cardioïde, limaçon haricot, et 2 limaçons convexes

La paramétrisation complexe ci-dessus montre que les limaçons de Pascal sont les épitrochoïdes engendrées par un point lié à un cercle roulant sans  glisser autour d’un cercle de même rayon (ici le cercle fixe est le cercle de diamètre [OA] et le point traceur est situé à une distance a du centre du cercle mobile).

Ce sont aussi, comme toute quartique bicirculaire rationnelle :
    - les podaires de cercle (ici podaire du cercle de centre A et de rayon a par rapport à O).
Ce sont donc les enveloppes de cercle de diamètre d'extrémités un point fixe (ici, O) et un point d'un cercle (ici, du cercle de centre A et de rayon a).
     - les inverses de coniques par rapport à l’un de leurs foyers (ici, de la conique d’excentricité e par rapport à O).

     - les cissoïdales de deux cercles dont l'un passe par le centre de l'autre, par rapport à ce centre (ici cissoïdale par rapport à O du cercle de centre (-ea/2, 0) passant par O et du cercle de centre O et de rayon a - cette définition est en fait équivalente à la définition conchoïdale).

Les limaçons de Pascal sont les cartésiennes rationnelles et sont des cas particuliers d'ovales de Descartes complets ; lorsque e1 (c'est-à-dire lorsque ce n'est pas une cardioïde), l'équation bipolaire par rapport à O et O'( , 0) est : .

Plus précisément :
 - le limaçon hyperbolique est la réunion des deux ovales de Descartes :  (grande boucle) et  (petite boucle).
 - le limaçon elliptique est l’ovale de Descartes :  (plus le point isolé O).

On retrouve aussi les limaçons de Pascal dans le système Bélidor de pont-levis.

Les développées des limaçons sont les caustiques par réflexion de cercle (source lumineuse à distance finie).
 

Les arachnées...

Les courbes d'équation  (cissoïdales de cercle passant par O et rosace) offfrent un élégant remplissage du limaçon ; ici, k = 55/37 (idée de Thierry LEGAY) .
 

Voir ici un engrenage en limaçon de Pascal, et dans ce site une application technique à la montre "24 heures".

Voir aussi les conchoïdes de cercles générales.


Image réalisée par Daniel Alexis


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2012