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LIGNES DE CHAMP, LIGNES ORTHOGONALES, SYSTÈME DOUBLE ORTHOGONAL
Field lines, orthogonal lines, doubly orthogonal system,  Feldlinien, othogonale Linien, zweifach orthogonales Kurvensystem

Deux familles de courbes sont dites orthogonales lorsqu'en tout point commun à une courbe de chaque famille, les tangentes sont orthogonales, et l'on dit que l'une des familles est formée des trajectoires orthogonales de l'autre. On est alors en présence d'un système double orthogonal de courbes.
 
Si la première famille de courbes est donnée sous la forme : les trajectoires orthogonales sont données par :
Définition géométrique f( M ) = cte g (M) = cte avec
Équation implicite cartésienne P(x, y) = cte Q(x, y ) = cte avec 
Équation implicite cartésienne harmonique P(x, y) = cte avec P harmonique Q(x, y ) = cte avec 
Equation implicite complexe  Re (f (z) ) = cte avec f holomorphe (donc conforme) Im (f (z) ) = cte
Équation implicite polaire P(r, q) = cte Q(r, q) = cte avec 
Équation différentielle cartésienne y' = f(x, y) y' = -1 / f(x, y)
Équation différentielle polaire r' = f(r, q) r' = - r² / f(r, q)
Lignes de champ du champ cartésien : (f(x, y), g(x, y)) (g(x, y), -f(x, y))
Lignes de champ du champ polaire : (f(r, q), g(r, q)) (g(r, q), -f(r, q))
Si les deux familles sont données sous une unique forme paramétrique : , u fixé, v variable pour la première famille, v fixé, u variable pour la deuxième, les deux familles sont orthogonales ssi , ce qui est toujours réalisé si P et Q sont les parties réelle et imaginaire d'une fonction holomorphe (fonction réciproque de celle ci-dessus).

Les trajectoires orthogonales d'une famille de droites sont les développantes de l'enveloppe de cette famille ; ce sont donc des courbes parallèles (voir exemple 13 ci-dessous).

Exemples :
Définitions
Expression paramétrique commune
(courbes rouges : u = cte
courbes bleues : v = cte)
Courbes images réciproques des lignes de coordonnées cartésiennes par la transformation conforme f définie par :
Interprétation physique des courbes rouges
Tracé
1
courbes 1 (cercles rouges) courbes orthogonales (droites bleues)
cartésien polaire
équation implicite x² + y² = cte r = a
équation différentielle yy' + x = 0 r' = 0
champ (y, -x) (0 , 1)
cartésien polaire
équation implicite y = kx q = q0
équation différentielle xy' - y = 0 dq/dr = 0
champ (x, y) (1 , 0)

d'où

Lignes de champ magnétique induit par un courant rectiligne uniforme orthogonal en O à xOy.

Équipotentielles électrostatiques induites par une charge placée en O ou des charges uniformément réparties sur une droite orthogonale en O à xOy.

2
Famille de paraboles homofocales
courbes 1 (paraboles rouges) courbes orthogonales (paraboles bleues)
cartésien polaire
équation implicite  y² = 4u²(u²-x) r=2u²/
(1+cosq)
équation différentielle yy'²+2xy'-y=0
cartésien polaire
équation
implicite
y² = 4v²(v²+x) r=-2v²/
(1+cosq)
équation
différentielle
yy'²-2xy'-y=0

d'où 

 
3
courbes 1 (hyperboles rouges) courbes orthogonales (hyperboles bleues)
cartésien polaire
équation implicite x² - y² = cte r²cos2q= cte
équation différentielle yy' - x = 0 r' = r tan2q
champ (y, x) (sin2q, cos2q)
cartésien polaire
équation implicite xy = cte r²sin2q = cte 
équation différentielle xy' + y = 0 r' = -r cot2q
champ (-x, y) (-cos2q , sin2q)

 d'où 

Visualisation approchée de l'exemple n° 8 ci-dessous au voisinage de O.

Ce sont les courbes de niveau du paraboloïde hyperbolique

4
courbes 1 (cercles rouges) courbes orthogonales (cercles bleus)
cartésien polaire
équation implicite x² + y² = ax r = acosq
équation différentielle 2xyy' =   y²-x² r' + r tanq = 0
champ (2xyy² - x²) (sinq, -cosq)
cartésien polaire
équation implicite (x² + y²) = ay r = asinq
équation différentielle  ( y² - x²) y' + 2xy = 0 r' = r cot
champ (x² - y², 2xy) (cosq, sinq)
Cas limite de l'exemple n°7 ci-dessous quand les conducteurs sont infiniment voisins.

Voir ausi l'abaque de Smith.

= deux faisceaux de cercles singuliers orthogonaux

5
courbes 1 (cardioïdes  rouges) courbes orthogonales (cardioïdes bleues)
polaire
équation implicite r=acos² q/2
équation différentielle r' = r tan q/2
champ (sinq/2, cosq/2)
polaire
équation implicite r=asin² q/2
équation différentielle r' = -r cot q/2
champ (-cosq/2 , sinq/2)
Remarque : figure obtenue par inversion de celle de l'exemple 2.
6
courbes 1 (spirales sinusoïdales d'indice -n  rouges) courbes orthogonales (spirales sinusoïdales d'indice -n bleues)
polaire
équation implicite rncosnq= cte
équation différentielle r' = r tan nq
champ (sinnq, cosnq)
polaire
équation implicite rnsinnq = cte 
équation différentielle r' = -r cotnq
champ (-cosnq , sinnq)
les 4 cas précédents correspondent à n = 1/2, n = 2, n = -1 , n =-1/2
 

d'où 

Ci-contre, vues pour n = 4 et n = -4.

7
courbes 1 (oeufs doubles rouges) courbes orthogonales (courbes du dipôle bleues)
cartésien polaire
équation implicite (x² + y²)3 = a²x4 r = acos²q
équation différentielle 3xyy' =  2 y²-x² r' + 2r tanq = 0
champ (3xy, 2 y² - x²) (2sinq, -cosq)
cartésien polaire
équation implicite (x² + y²)3 = a4y² r² = a²sinq
équation différentielle  (2y²-x² ) y' + 3xy = 0 2r' = r cot
champ (x² - 2 y², 3xy) (cosq, 2sinq)
Remarque : les exemples 4 et 7 font partie de l'exemple plus général des courbes de Clairaut : r = acosnq et rn= ansinq.
 ???? ???? Lignes de champ d'un dipôle magnétique

Lignes de champ d'un dipôle électrostatique
(cas limite, en inversant les courbes rouges et les courbes bleues, de l'exemple n°9 ci-après).

8
courbes 1 (cercles rouges) courbes orthogonales (cercles bleus)
définition géométrique MA/MB = cte
avec A(1,0) et B(-1,0)
équation implicite (x - 1)² + y² = cte. ((x+ 1)² + y²)
définition géométrique (MA, MB) = cte
champ MA/MA² - MB/MB²

d'où

Lignes de champ magnétique induit par un courant rectiligne uniforme orthogonal en A à xOy et un courant parallèle de sens contraire passant par B.
Équipotentielles électrostatiques induites par des charges uniformément réparties sur une droite orthogonale en A à xOy et des charges opposées u. r. sur une droite orthogonale en B à xOy.

= deux faisceaux de cercles orthogonaux
9
courbes 1 (ovales de Cassini rouges) courbes orthogonales (hyperboles équilatères bleues)
définition géométrique MA .MB = cte

 
polaire
équation implicite r4 - 2r²
cos2q = cte
équation différentielle sin2qr'= r3 - rcos2q
champ (sin2q, cos2q - r²)
définition géométrique (Ox, AM) + (Ox, BM) = cte
champ MA/MA² - MB/MB²
polaire
équation implicite r² = cos2a /cos(2q+2a)
équation différentielle sin2qr'= r3 - rcos2q
champ (r² - cos2q, sin2q)

d'où

Lignes de champ magnétique induit par un courant rectiligne uniforme orthogonal en A à xOy et un courant parallèle de même sens passant par B.

Équipotentielles électrostatiques induites par des charges uniformément réparties sur une droite orthogonale en A à xOy et des charges égales u. r. sur une droite orthogonale en B à xOy.










Voir une généralisation à cassinienne pour les courbes rouges, et à stelloïde pour les courbes bleues : cas où .

10
courbes 1 (équipotentielles de Cayley rouges) courbes orthogonales (en bleu)
définition géométrique 1/MA-1/MB = cte
champ
définition géométrique
champ MA/MA3 - MB/MB3
    Équipotentielles électrostatiques induites par deux charges opposées placées en A et en B, autrement dit, un dipôle électrostatique.
11
courbes 1 (ovales de Cayley rouges) courbes orthogonales (en bleu)
définition géométrique 1/MA + 1/MB = cte
champ
définition géométrique
champ MA/MA3 + MB/MB3
    Équipotentielles électrostatiques induites par deux charges égales placées en A et en B.
12
Réseau de coniques homofocales
courbes 1 (ellipses rouges) courbes orthogonales (hyperboles bleues)
définition géométrique MA + MB = cte
champ MA/MA - MB/MB
équation cartésienne x²/(1+cte)+y²/cte=1
définition géométrique MA - MB  = cte
champ MA/MA + MB/MB
équation cartésienne x²/(1-cte)-y²/cte=1
f(z) = argch(z)
f-1(z) =  ch (z)
(image du réseau n°1 par la transformation de
Joukovski
j(z) = (z + 1/z)/2)
Equipotentielles électrostatiques induites par des charges uniformément réparties sur le segment [AB] ???
Figure d'interférence
13
Développantes de cercle et leurs génératrices


courbes 1 (demi-développantes d'un cercle fixe rouges) courbes orthogonales (demi-tangentes au cercle bleues)
paramétrisation complexe
paramétrisation complexe

???? ????  
14
courbes 1 (quartiques rouges) courbes orthogonales (quartiques bleues)
cartésien
équation implicite  y² = a²(1 
+ 1 / (a²+x²))
paramétrisation x = a tan t
y² = a² 
+ cos²t
cartésien
équation implicite x² = a²(1
- 1 / (a²+y²))
paramétrisation  x² = a² 
- cos²t
y = a tan t
  Lignes d'écoulement uniforme perturbé par un obstacle (le segment [AB] avec A(0, 1) et B(0, -1))

La courbe bleue passant par O (obtenue pour a = 1) est une puntiforme

15
courbes 1 (hyperboles cubiques rouges) courbes orthogonales (hyperboles cubiques bleues)
cartésien
équation implicite (y - cte) (x²+y²) = y
cartésien
équation implicite (x - cte) (x²+y²) + x =0
 
j est la
transformation de Joukovski


Lignes d'écoulement uniforme perturbé par le dique de centre O et de rayon 1.
16

où .
Par exemple, pour v = pi/2, on obtient :
  Lignes d'écoulement uniforme dans un tube coudé.

Autres exemples :
 
Lemniscates de Bernoulli : et  (cas n = –2 de l'exemple 6 ci-dessus) Trèfles à 4 feuilles ; et leurs trajectoires orthogonales .
Spirales logarithmiques: et. Paraboles  et ellipses 

Voir aussi à tractrice., ainsi que cet article.

Les projections sur un plan horizontal des lignes de pente et des lignes de niveau d'une surface forment deux réseaux orthogonaux ; Voir par exemple la boîte à oeufs.

On peut généraliser la notion de courbes orthogonales à des angles quelconques ; deux familles de courbes se coupent sous l'angle V  lorsqu'en tout point commun à une courbe de chaque famille, les tangentes font un angle V, et l'on dit que l'une des famille est formée des trajectoires sous l'angle V de l'autre.

Par exemple, les trajectoires sous l'angle V du faisceau des droites issues de O sont les spirales logarithmiques; :

La généralisation 3D des systèmes doubles orthogonaux est la notion de système triple orthogonal de surfaces.
 
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2012