| courbe suivante | courbe précédente | courbes 2D | courbes 3D | surfaces | fractals | polyèdres |
LIGNES DE CHAMP, LIGNES ORTHOGONALES
Field lines, orthogonal lines, Feldlinien, othogonale
Linien
Deux familles de courbes sont dites orthogonales
lorsqu'en tout point commun à une courbe de chaque famille, les
tangentes sont orthogonales, et l'on dit que l'une des famille est formée
des trajectoires orthogonales de l'autre.
| Si la première famille de courbes est donnée sous la forme : | les trajectoires orthogonales sont données par : | |
| Définition géométrique | f( M ) = cte | g (M) = cte avec |
| Équation implicite cartésienne | P(x, y) = cte | Q(x, y ) = cte avec |
| Équation implicite cartésienne harmonique | P(x, y) = cte avec P harmonique | Q(x, y ) = cte avec |
| Equation implicite complexe | Re (f (z) ) = cte avec f holomorphe (donc conforme) | Im (f (z) ) = cte |
| Équation implicite polaire | P(r, q) = cte | Q(r, q)
= cte avec |
| Équation différentielle cartésienne | y' = f(x, y) | y' = -1 / f(x, y) |
| Équation différentielle polaire | r' = f(r, q) | r' = - r² / f(r, q) |
| Lignes de champ du champ cartésien : | (f(x, y), g(x, y)) | (g(x, y), -f(x, y)) |
| Lignes de champ du champ polaire : | (f(r, q), g(r, q)) | (g(r, q), -f(r, q)) |
Si les deux familles sont données sous forme paramétrique
:  , u
fixé, v variable pour la première famille, v
fixé, u variable pour la deuxième, les deux familles
sont orthogonales ssi  ,
ce qui est toujours réalisé si P et Q sont
les parties réelle et imaginaire d'une fonction holomorphe (fonction
réciproque de celle ci-dessus). |
Les trajectoires orthogonales d'une famille de droites sont les développantes de l'enveloppe de cette famille ; ce sont donc des courbes parallèles.
Exemples :
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d'où
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Lignes de champ magnétique induit par un courant rectiligne
uniforme orthogonal en O à xOy.
Équipotentielles électrostatiques induites par une charge placée en O ou des charges uniformément réparties sur une droite orthogonale en O à xOy. |
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d'où
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d'où
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Visualisation approchée de l'exemple n° 8 ci-dessous au
voisinage de O.
Ce sont les courbes de niveau du paraboloïde hyperbolique |
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Cas limite de l'exemple n°7 ci-dessous quand les conducteurs sont infiniment voisins |
 = deux faisceaux singuliers orthogonaux |
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d'où
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Ci-contre, vues pour n = 4 et n = -4. |
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???? | Lignes
de champ d'un dipôle magnétique
Lignes de champ d'un
dipôle électrostatique
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d'où
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Lignes de champ magnétique induit par un courant rectiligne
uniforme orthogonal en A à xOy et un courant parallèle
de sens contraire passant par B.
Équipotentielles électrostatiques induites par des charges uniformément réparties sur une droite orthogonale en A à xOy et des charges opposées u. r. sur une droite orthogonale en B à xOy. |
= deux faisceaux de cercles orthogonaux |
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d'où
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Lignes de champ magnétique induit par un courant rectiligne
uniforme orthogonal en A à xOy et un courant parallèle
de même sens passant par B.
Équipotentielles électrostatiques induites par des charges uniformément réparties sur une droite orthogonale en A à xOy et des charges égales u. r. sur une droite orthogonale en B à xOy. |
Voir une généralisation à cassinienne
pour les courbes rouges, et à stelloïde
pour les courbes bleues : cas où |
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Équipotentielles électrostatiques induites par deux charges opposées placées en A et en B, autrement dit, un dipôle électrostatique. |
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Équipotentielles électrostatiques induites par deux charges égales placées en A et en B. |
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f(z) = argch(z)
f-1(z) = ch (z) (image du réseau n°1 par la transformation de Joukovski : j(z) = 1/2(z + 1/z)) |
Equipotentielles électrostatiques induites par
des charges uniformément réparties sur le segment [AB] ???
Figure d'interférence |
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f(z) = f-1(z) = iÖ(z² + 1) | Lignes d'écoulement uniforme perturbé par un obstacle (le segment [AB] avec A(0, 1) et B(0, -1)) |
La courbe bleue passant par O (obtenue pour a = 1) est une puntiforme |
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f(z) = 1/(2i)(z + 1/z))
= 1/i j(z) où j est la
transformation de Joukovski f-1(z) = iz + iÖ(z² + 1) |
Lignes d'écoulement uniforme perturbé par le dique de centre O et de rayon 1. |
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Autres exemples :
Lemniscates
de Bernoulli :
et  (cas
n
= -2 exemple 5 ci-dessus) |
Trèfles à
4 feuilles ;
et leurs trajectoires orthogonales  . |
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Spirales logarithmiques:
et  . |
Paraboles 
et ellipses  |
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Voir aussi à tractrice., ainsi que cet article.
Les projections sur un plan horizontal des lignes de pente et des lignes de niveau d'une surface forment deux réseaux orthogonaux ; Voir par exemple la boîte à oeufs.
On peut généraliser la notion de courbes orthogonales à des angles quelconques ; deux familles de courbes se coupent sou l'angle V lorsqu'en tout point commun à une courbe de chaque famille, les tangentes font un angle V, et l'on dit que l'une des famille est formée des trajectoires sous l'angle V de l'autre.
Par exemple, les trajectoires orthogonales sous l'angle
V
du faisceau des droites issues de O sont les spirales
logarithmiques;
:
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2005
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