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COURBE BALISTIQUE
Ballistic curve, ballistische Kurve



Frottement fixé propportionnel à la vitesse, 
vitesse initiale croissante, angle de tir de 60° 
Idem avec un angle de tir de 45°

 
 
 
 

Idem avec un angle de tir de 30°

 
Courbe étudiée par Jean Bernoulli en 1719, Euler en 1753,  Legendre en 1782 et Jacobi en 1842.
Autre nom : parabole amortie.

Les courbes balistiques, sont les trajectoires d'un point matériel soumis à un champ de pesanteur uniforme et à une force de frottement fluide, dirigée en sens contraire du vecteur-vitesse, et d'intensité proportionnelle à une certaine fonction j(v) de la vitesse absolue.

1) Lorsque j(v) = 0, on obtient la parabole.

2) Cas où  j(v) = v  (obtenu expérimentalement pour une vitesse faible ; le frottement est dit "visqueux")
Équation différentielle du mouvement (linéaire) : 
(h = coefficient de frottement fluide, m = masse du point matériel, 
accélération de la pesanteur)
Paramétrisation cartésienne pour 
(condition initiale M(0) = 0)
avec  et .
Équation cartésienne : 
(alors que dans le cas non amorti c'est avec ).
Courbe transcendante (au contraire de la parabole).

On obtient des courbes ayant, contrairement aux paraboles, une asymptote verticale à l'extrémité droite, et une direction asymptotique oblique sans asymptote, à l'extrémité gauche.
 
 
Ci-contre, figure formée par les trajectoires issues d'un point fixe avec une vitesse initiale constante, un angle de tir de 45° et un coefficient de frottement croissant.

 
 
Figure formée par les trajectoires issues d'un point fixe avec une vitesse initiale donnée, avec l'enveloppe de ces trajectoires (appelée parabole de tir, bien que ce ne soit pas une parabole).

Comparer avec le cas sans frottement

Remarque : l'équation cartésienne de ces courbes montre que ce sont les médianes d'une droite et d'une logarithmique, parallèlement à l'asymptote de la logarithmique.

3) Cas général.
 
Équation différentielle du mouvement :  s'écrivant : 
d'où : , d'où, en posant , équation différentielle fournissant  en fonction de u ; remplaçant  dans (1), on obtient  d'où, en utilisant , la paramétrisation de la courbe en fonction de u.

 
Ci-contre, comparaison entre 3 courbes balistiques, pour un même angle de tir et une même vitesse initiaux :

- en bleu dans le vide
- en rouge avec une résistance proportionnelle à la vitesse (j(v) = v )
- en vert, avec une résistance proportionnelle au carré de la vitesse (j(v) = )
 


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2010