Courbe de poursuite

COURBE DE POURSUITE
Pursuit curve, Verfolgungskurve
Le chien court deux fois plus vite que le lièvre

Courbe étudiée par Léonard de Vinci et Pierre Bouguer en 1732, et par Du Boisaymé en 1811.
Autre nom : courbe du chien.

Équation différentielle vectorielle :

.
se traduisant par le système différentiel :

.
ou par le système :

On appelle courbe de poursuite la trajectoire d'un mobile M (le chien ou l'avion chasseur) dont le mouvement est dirigé à chaque instant vers un autre mobile M₀ (le lièvre ou le maître, ou l'avion chassé), dont la trajectoire est nommée courbe de fuite. On considère en général que les mouvements de M et M₀ sont uniformes, de vitesses V et V₀= kV.

Comme on pourrait s'y attendre, le chien rattrape le lièvre à coup sûr si et seulement s'il court plus vite que lui (k < 1) ; Lorsque les deux vitesses sont égales, la distance entre le chien et le lièvre tend au cours du temps vers une constante a, et la courbe du chien tend à devenir la tractoire de celle du lièvre avec une laisse de longueur a.

Cas le plus simple : courbe de fuite rectiligne.

Le lièvre décrit Oy à la vitesse V, et le chien le poursuit à la vitesse V/k ;
les données se traduisent par les relations : ce qui fournit l’équation différentielle de la trajectoire de M :

, soit

. Si le chien est en A de coordonnées (a, b) quand le lièvre est en O, l'intégrale première est :

où

avec

et on obtient la courbe d'équation :

avec

si k ¹ 1
et

si k = 1

Le mouvement de M étant donné par :

si k ¹ 1

si k = 1 et b = 0.

La courbe est algébrique ssi k est rationnel ;
si k = p/q avec p et q premiers entre eux, le degré est 2p pour k > 1 et p + q pour k < 1.

En particulier, pour k = 1/2, on obtient une parabole divergente droite.

Le chien rattrape le lièvre ssi k < 1, et il le rattrape en (0, b - f(a)), soit si b = 0.
Pour connaître la distance parcourue, regarder : http://did.mat.uni-bayreuth.de/~susanne/verfolgung/Isometriesatz.html.
Lorsque k = 1, la distance entre le chien et le lièvre tend vers une constante, égale à f(a) + c/2 - b.

en rouge : le chien court plus vite que le lièvre : il le rattrape.
en vert : il court aussi vite : pas de rattrapage possible, et en bleu, encore moins...

Le chien a même vitesse que le lièvre : leur distance tend vers une constante.

Remarquons que si le chien était intelligent et courait en ligne droite avec anticipation, il pourrait rattraper le lièvre ssi (pour b > 0) et pourrait donc toujours le rattraper s'il court aussi vite que lui.

Le cas d'une courbe de fuite circulaire n'aurait été résolu qu'en 1921.
Pour le cercle de centre O et de rayon R, on obtient le système différentiel : permettant de tracer les courbes à l'aide d'un logiciel.

Le chien rattrape de nouveau son maître ssi k < 1 ; lorsque k = 1, la distance chien-maître tend vers 0, mais il ne le rattrape pas ; et lorsque k ³ 1, la courbe admet pour cercle asymptote le cercle de centre O et de rayon R/k, et la distance chien-maître tend vers Ö(1-1/ k²).

ici, le lièvre court 4 fois plus vite que le chien

Une généralisation consiste à considérer des courbes de poursuite où la vitesse du chien fait un angle constant avec la droite qui le joint au lièvre ; le cas le plus simple est celui du lièvre immobile : le chien suit alors une spirale logarithmique.

Voir d'autres exemples à :
http://did.mat.uni-bayreuth.de/~susanne/verfolgung/Schielwinkelkurven.html

On peut aussi considérer des courbes de poursuite en 3D, et étudier des systèmes de poursuite.

Pour d'autres courbes suivies par des chiens, voir la courbe du nageur (chien nageant dans le courant vers son maître sur la berge) ou la conchoïde (chien tirant constamment sur sa laisse en direction d'un point fixe).
Comparer aussi avec la courbe de filature.

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres