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COURBE RATIONNELLE
Rational curve, rationale Kurve


Du latin ratio "rapport" (rapport de deux polynômes...).
Synonyme : courbe unicursale (du latin unus "un", et cursus "course").

 
Paramétrisation cartésienne : P, Q et R sont trois polynômes à coefficients réels premiers entre eux dans leur ensemble et tels que les polynômes  et  sont premiers entre eux (représentation propre).

Paramétrisation cartésienne homogène : .

Une courbe rationnelle est une courbe admettant une paramétrisation par des fonctions rationnelles de R(x).
La paramétrisation est dite propre si tout point de la courbe (sauf un nombre fini de points multiples) ne peut être obtenu que pour une seule valeur du paramètre : voir la condition pratique dans l'encadré ci-dessus. Une CNS est que le paramètre s'exprime rationnellement en fonction des coordonnées.
Les représentations propres se déduisent les unes des autres par un changement homographique du paramètre (théorème de Lüroth).

Toute courbe rationnelle est une courbe algébrique de degré égal au plus grand degré des polynômes P, Q, R ci-dessus d'une représentation propre.

Une courbe algébrique est rationnelle si et seulement si le nombre de ses points singuliers, comptés avec leur multiplicité, est maximum, autrement dit si son genre est nul.
Exemple : toute courbe algébrique de degré n ayant un point multiple d'ordre n - 1 est rationnelle;
En particulier les coniques sont toutes rationnelles.
Pour les cubiques et quadriques, voir à cubique rationnelle et à quadrique rationnelle.

Attention : une section plane de surface rationnelle n'est pas forcément une courbe rationnelle.

Les courbes rationnelles sont aussi dites unicursales, ce qui signifie étymologiquement qu'on peut les tracer d'un seul coup de crayon ; ceci n'est vraiment exact dans le plan affine que lorsque le polynôme R n'a pas de racine réelle. Sinon, c'est dans le plan projectif, qu'il faut se placer pour imaginer qu'on ne lève pas le crayon (pour tracer une hyperbole ou une cubique mixte par exemple).
Par contraposée, ceci montre qu'une courbe qui possède plusieurs composantes connexes (dite multipartite) dont l'une est une courbe fermée, n'est pas rationnelle. Exemple : la parabole divergente ou les ovales de Descartes ;
La réciproque est fausse : la parabole divergente qui est probablement la courbe non rationnelle dont l'équation cartésienne est la plus simple, se trace d'un coup de crayon ; une telle courbe est dite unipartite.

Lorsque R = 1, on obtient les courbes polynomiales.
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2001