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ROSACE
Rose (rhodonea), Rosenkurve (Rhodonee)

Courbe étudiée par Guido Grandi en 1723.
Autres noms : rhodonnée, rose (de Grandi), multifolium.

 
Équation polaire :   (ou bien ) avec n réel > 0.
Courbe algébrique ssi n est rationnel ; si p et q sont les numérateur et dénominateur de n, le degré est  p +q si p et q sont impairs, et de degré 2(p + q ) sinon.
Longueur d'un pétale : .
Aire d'un pétale :  ; l'aire délimitée par la courbe entière est la moitié de celle du disque circonscrit si n est un entier pair, et le quart si n est un entier impair.

Les rosaces sont les lieux d'un point d'un segment décrivant un mouvement de rotation uniforme autour de son centre, le point décrivant le segment d'un mouvement sinusoïdal, autrement dit, de représentation polaire :  ; on obtient l'équation ci-dessus en posant .
Ceci peut s'obtenir en pratique par le tracé des petites oscillations d'un pendule en rotation uniforme autour de son axe.

Les rosaces sont aussi les trochoïdes à centre telles que la distance du point traceur au centre du cercle mobile soit égale à la distance entre les cercles fixe et mobile.

Plus précisément :
   - pour n > 1 la rosace est une hypotrochoïde (cercle de roulement de rayon  , cercle roulant de rayon  , distance du point au cercle roulant =  ), et c'est aussi une podaire par rapport à O d'hypocycloïde (cercle de roulement de rayon na, cercle intérieur de rayon na/q avec ) ; on peut donc l'obtenir à l'aide d'un spirographe.

    - pour 0 <  < 1, c'est une épitrochoïde (cercle de roulement de rayon  , cercle roulant de rayon , distance du point au cercle roulant =   ) et c'est aussi une podaire par rapport à O d'épicycloïde (cercle de roulement de rayon  , cercle extérieur de rayon a/pq avec ).

La courbe est formée d'un motif de base - le pétale ou branche, ou encore feuille - symétrique par rapport à Ox obtenu pour :

transformé par toutes les rotations d'angle  pour k entier.
Lorsque n est rationnel de numérateur p, et de dénominateur q, la courbe est symétrique par rapport à O ssi p ou q est pair.

Dans ce cas, la courbe est formée de 2p pétales issus du pétale de base par rotations d'angles  et  + p.

Lorque p et q sont impairs, la courbe est formée de p pétales issus du pétale de base par rotations d'angles .

Exemples :

n = 1 : cercle 

n  = 2 : trèfle à 4 feuilles 
(ou quadrifolium)

n = 3 : trifolium régulier

n = 4

n = 5

n = 1/2 :
folium de Dürer

 n = 3/2

n = 5/2

n = 7/2

n = 9/2

n  = 1/3 : limaçon trisecteur

n = 2/3

n = 4/3

n = 5/3

n = 7/3

n = 1/4

n = 3/4

n = 5/4

n = 7/4

n = 9/4

n = 1/5

n = 2/5

n = 3/5

n = 4/5

n = 6/5

Quand n est irrationnel, la rosace est dense dans le disque D(O, a).

Les rosaces sont les vues de dessus des clélies.

Ce sont aussi les inverses des épis et les podaires des cycloïdes à centre.

Comparez-les avec les spirales sinusoïdales.

Voir aussi à conchoïde de rosace et à radiale.


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2000