Courbes synodales

COURBE SYNODALE
Synodal curve, synodale Kurve

Courbe étudiée par Bonati en 1780.
Du grec syn "avec" et odos "chemin".

Deux courbes joignant un point A à un point B, placées dans un champ de pesanteur uniforme sont dites synodales si, lorsqu'on lâche en A un point matériel sans vitesse initiale, les deux points arrivent en même temps en B, qu'ils suivent l'une ou l'autre courbe.

Exemple : les courbes coudées [A=(0,0), M=(x,y) , B=(1,1)] qui sont synodales de la ligne droite [(0,0), (1,1)] , sont telles que le lieu de M a pour équation (axe des x orienté vers le bas).

Bonati a posé et résolu en 1780 le problème de déterminer une courbe issue de O telle qu'à tout instant, le temps mis pour arriver au point M en suivant cette courbe est le même que celui que mettrait un point matériel astreint en partant de O sans vitesse à suivre la droite (OM). Autrement dit, de déterminer une courbe qui soit synodale de toutes ses sécantes issues d'un de ses points. La réponse est une demi lemniscate de Bernoulli.

Démonstration du résultat de Bonati :
En orientant l'axe des x vers le bas, le temps de descente le long d'une courbe de (0, 0) à (X, Y) est proportionnel à ; cette dernière intégrale est égale à dans le cas d'une ligne droite. En passant en coordonnées polaires, la condition de Bonati s'écrit donc . En dérivant et en élevant au carré, on obtient l'équation différentielle qui se simplifie en , qui donne bien la lemniscate .

Voir aussi à synchrone, isochrone de Huygens, isochrone de Leibniz, isochrone de Varignon, brachistochrone et tautochrone.

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

Exemple : les courbes coudées [A=(0,0), M=(x,y) , B=(1,1)] qui sont synodales de la ligne droite [(0,0), (1,1)] , sont telles que le lieu de M a pour équation (axe des x orienté vers le bas).
Bonati a posé et résolu en 1780 le problème de déterminer une courbe issue de O telle qu'à tout instant, le temps mis pour arriver au point M en suivant cette courbe est le même que celui que mettrait un point matériel astreint en partant de O sans vitesse à suivre la droite (OM). Autrement dit, de déterminer une courbe qui soit synodale de toutes ses sécantes issues d'un de ses points. La réponse est une demi lemniscate de Bernoulli.
Démonstration du résultat de Bonati : En orientant l'axe des x vers le bas, le temps de descente le long d'une courbe de (0, 0) à (X, Y) est proportionnel à ; cette dernière intégrale est égale à dans le cas d'une ligne droite. En passant en coordonnées polaires, la condition de Bonati s'écrit donc . En dérivant et en élevant au carré, on obtient l'équation différentielle qui se simplifie en , qui donne bien la lemniscate .