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COURBE DE BÉZIER 3D

Lien vers une figure manipulable à la souris


Courbe étudiée par Bézier en 1954 et par de Casteljau.
Pierre Bézier (1910 - 1999) : ingénieur à la régie Renault.

 
Paramétrisation affine :   (soit ) où les  sont les polynômes de Bernstein : .
Courbe algébrique polynomiale de degré £ n.
Courbure en A0 , torsion en A0 .

 
Une ligne brisée  étant donnés (appelée polygone de contrôle, les Ak étant les points de contrôle), la courbe de Bézier associée est la courbe de paramétrisation ci-dessus ; la courbe passe par A0 (pour t = 0) et An (pour t = 1), et la portion qui joint ces points est tracée dans l'enveloppe convexe des points de contrôle ; la tangente en A0 est (A0A1) et celle en An (An-1An).
Animation de l'évolution d'une courbe de Bézier cubique à 4 points de contrôle, avec A1 et A4 fixes, A2 et A3 évoluant respectivement sur des droites.

Construction récursive (algorithme de de Casteljau):
Le point est le barycentre de  et  où  sont les points courants respectifs des courbes de Bézier de points de contrôle  et  ; de plus la droite  est la tangente en  à la courbe de Bézier.

Réciproquement, toute courbe algébrique 3D polynomiale est une courbe de Bézier avec unicité du polygone de contrôle associé, une fois les extrémités de ce polygone choisies arbitrairement sur la courbe.

Les courbes de Bézier 3D sont des cas particuliers de courbes splines 3D.

Leurs projections coniques planes sont les courbes de Bézier rationnelles planes.
 
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© Robert FERRÉOL 2010