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ENTRELACS BRUNNIEN
Brunnian link, brunnsche Verschlingung
image tirée du dictionnaire de géométrie de Wells

Notion étudiée par Hermann Brunn en 1892, et par John Milnor en 1954.
Sites : fr.wikipedia.org/wiki/Entrelacs_brunnien
         www.mi.sanu.ac.rs/vismath/bor/bor1.htm
         www.knotplot.com/brunnian/

Un entrelacs est dit brunnien s'il est formé d'un certain nombre de boucles (chacune non nouée), dont aucune n'est libre, mais qui sont libérées dès que l'on enlève l'une quelconque d'entre elles.

Exemples :

    - l'image en en-tête ci-dessus montre déjà qu'il existe un entrelacs brunnien pour tout nombre de boucles.

    - tout entrelacs non trivial à deux boucles  est brunnien.

    - pour fabriquer un entrelacs brunnien à 3 boucles, poser deux boucles l'une sur l'autre et passer la troisième au dessus de celle du dessus et en dessous de celle du dessous.
On remarquera dans les figures ci-dessous que la boucle rouge est sur la jaune qui est sur la bleue qui est sur la rouge...





L'entrelacs à 3 boucles à plus petit nombre de croisements (6) est l'entrelacs borroméen.

L'ennéagramme {9/3} avec passage alterné dessus-dessous est un entrelacs brunnien à 18 croisements
Idem pour le dodécagramme {12/3}

 
Entrelacs brunnien à 4 composantes, 1, 2, 3, 4, en tournant vers la droite ; 1 est sous 2, 2 sous 3, 3 sous 4, 4 sous 1, 1 est sous 3, 2 est sous 4.
Notons qu'il n'y a pas alternance dessus-dessous.

 
 
Tous les polygrammes entrelacés avec alternance dessus-dessous et un nombre impair de composantes non nouées sont brunniens ; ci-contre le {15/5}.

Si les composantes sont 1, 2,.., n en tournant vers la droite, et , x est sous y si y - x est impair, et sur y si y - x est pair.

Idem pour la généralisation des anneaux borroméens à n anneaux avec n impair.

Images réalisées avec povray par Alain Esculier.


 
 
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© Robert FERRÉOL  2010