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ENTRELACS BRUNNIEN
Brunnian link, brunnsche Verschlingung
image tirée du dictionnaire de géométrie de Wells

Notion étudiée par Hermann Brunn en 1892, et par John Milnor en 1954.
Autre nom : chaine borroméenne.
Sites : fr.wikipedia.org/wiki/Entrelacs_brunnien
       www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/liangmislow.pdf
         www.mi.sanu.ac.rs/vismath/bor/bor1.htm
         www.knotplot.com/brunnian/
Images réalisées avec povray par Alain Esculier.

Un entrelacs est dit brunnien s'il est formé d'un certain nombre de boucles (chacune non nouée), dont aucune n'est libre, mais qui sont libérées dès que l'on enlève l'une quelconque d'entre elles.

Exemples :

    - l'image en en-tête ci-dessus montre déjà qu'il existe un entrelacs brunnien pour tout nombre de boucles.

    - tout entrelacs non trivial à deux boucles est brunnien.

    - pour fabriquer un entrelacs brunnien à 3 boucles, poser deux boucles l'une sur l'autre et passer la troisième au dessus de celle du dessus et en dessous de celle du dessous.

On remarquera dans les exemples ci-dessous d'entrelacs brunniens à 3 boucles que la boucle rouge est sur la jaune qui est sur la bleue qui est sur la rouge...






L'entrelacs brunnien à 3 boucles à plus petit nombre de croisements (6) est l'entrelacs borroméen.

L'ennéagramme {9/3} avec passage alterné dessus-dessous est un entrelacs brunnien à 3 boucles et 18 croisements
Idem pour le dodécagramme {12/3} : 3 boucles et 24 croisements.

 
Exemple d'entrelacs brunnien à 4 boucles découvert par Brunn lui-même en 1892.
Cet entrelacs à 4 boucles circulaires n'est par contre pas "complètement" brunnien ; si on note 1, 2, 3, 4 les boucles en tournant vers la droite et en partant du haut : 1 est sous 2, 2 sous 3, 3 sous 4, 4 sous 1 ; de plus, 1 est sous 3 et 2 est sous 4.
Toutes les boucles sont deux à deux non nouées, et les entrelacs 1-2-3 et 2-3-4 sont triviaux, mais les entrelacs 1-3-4 et 1-2-4 sont noués...
Idem pour 5 boucles, 1, 2, 3, 4, 5 ; en tournant vers la gauche : 1 est sous 2, 2 sous 3, 3 sous 4, 4 sous 5, 5 sous 1 ; de plus, 1 est sous 3 et sur 4,  et 2 est sous 4 et sur 5, 3 est sous 5.
Toutes les paires sont non nouées, le trio 1-2-3 est non noué, mais le trio 1-2-5 l'est...

 
Tous les polygrammes entrelacés avec alternance dessus-dessous et un nombre impair de composantes non nouées sont tels que les boucles sont deux à deux non nouées ; ci-contre le {15/5}.

Si les composantes sont 1, 2,.., n en tournant vers la droite, et , x est sous y si y – x est impair, et sur y si y – x est pair.

Idem pour la généralisation des anneaux borroméens à n anneaux avec n impair.

Voir une version polygonale sur cette page.

 

Il a été démontré en 1987 qu'aucun entrelacs brunnien ne peut être formé uniquement de cercles (voir Aigner, Ziegler, Proofs from the book 5. edition p. 95 à 102) .
 
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© Robert FERRÉOL  2015