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COURBE DE LA CRÊPE

Cette courbe ressemblant au bord d'une crêpe circulaire courbée (ce qui arrive lorsqu'on la fait sauter), nous avons donné le nom de "courbe de la crêpe" à cette courbe qui n'en possède pas d'officiel.
Lire ci-contre un texte de J.E. Mebius à ce sujet.
As far as I know, this curve doesn't have any name of its own. However, it is closely related to a famous item of 19th-century mathematics, the cylindroid surface, discovered by William Kingdon Clifford during his research into the theory of screws. The equation of the cylindroid in 3D Cartesian coordinates commonly reads z = (xx - yy) / (xx + yy). Turning the whole thing thru 90 deg about the Z axis yields z = 2xy / (xx + yy), and there you are: your curve is the intersection of this cylindroid and the unit cylinder about the Z axis. This is generic: cylindroid and cylinder with common axis always intersect in this kind of space curve.

 
Paramétrisation cartésienne : 
forme 1  ; forme 2 :  (rotation de  par rapport à la précédente).
Biquadratique (quartique 3D de première espèce) rationnelle.

On obtient la courbe de la crêpe comme intersection d'un cylindre de révolution () avec :
 - un paraboloïde hyperbolique de même axe ( avec  pour la forme 1)
 - un conoïde de Plücker de même axe : ( pour la forme 1)
 - un cylindre parabolique de droite sommitale perpendiculaire à l'axe du cylindre ( pour la forme 2).
 

Intersection avec un PH

 

Intersection avec un conoïde de Plücker


Intersection avec un cylindre parabolique

En tout il y a donc 6 définitions comme intersections de ces 4 surfaces.

La courbe de la crêpe est un cas particulier de couronne sinusoïdale ; si donc on la fait rouler sur un plan, le point de contact décrit une sinusoïde :

La projection sur xOy est un cercle ; les projections sur xOz et yOz sont deux lemniscates de Gerono isométriques pour la forme 1 et deux portions de parabole pour la forme 2.

Les projections sur les plans passant par Oz sont les besaces (première animation).
Les projections sur les plans passant par Oy (forme 2), donnent, outre une portion de parabole, une courbe quartique ovoïde (deuxième animation).
Les projections sur les plans contenant Oy (forme 1), donnent, outre un cercle, la quartique piriforme (troisième animation).

Voir aussi à bicylindrique pour une courbe ressemblante.
 
Malgré le nom que nous avons donné à cette courbe, il ne faut pas la confondre avec une deuxième courbe ressemblante, la courbe figurant le bord d'une crêpe circulaire de rayon b posée sur un cylindre de rayon a, ayant pour paramétrisation : .
Cette courbe, qui se développe en un cercle quand on développe le cylindre, est une courbe transcendante, et devient ceci quand b grandit :

Comparer avec l'intersection d'un paraboloïde hyperbolique avec une sphère.

Voir aussi la surface d'Hector Guimard et un tore sinusoïdal.
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2017