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ENTRELACS
Link (or interlacing), Verschlingung


Autre appellation : nud emboité.
Référence : 
Dale Rolfsen, Knots and Links (1976).

Un entrelacs est un ensemble fini de nuds enlacés. Plus précisément, c'est une classe d'équivalence d'ensembles finis de courbes de  fermées sans point double et sans points communs, deux ensembles de courbes étant équivalents si on peut déformer dans  chaque courbe de l'un en une courbe de l'autre, de façon continue, chaque courbe restant constamment fermée sans point double et sans point commun avec une autre tout au long de la transformation.

Le nombre de croisements d'un entrelacs est le nombre minimum de points doubles des projections planes (sans point d'ordre supérieur ou égal à 3) de ses représentants. Un entrelacs dont un représentant a une projection sans croisement est dit trivial.

Un brin étant choisi dans chacun de deux entrelacs, la somme correspondante des deux entrelacs est l'entrelacs obtenu en coupant le brin choisi de chacun des deux entrelacs et en recollant les bouts. On définit alors un entrelacs premier comme ne pouvant être somme de deux entrelacs non triviaux.

Voici la table de Rolfsen des premiers entrelacs premiers, à deux brins ou plus (le symbole  donnant le nombre de croisements N, le nombre de brins n, et le numéro d'ordre p parmi les entrelacs à N croisements) :

Les six premiers sont des entrelacs de bretzel.
Voir aussi le graphe permettant de coder chaque entrelacs.
Table plus complète dans l'atlas des noeuds.

Exemples, avec la notation N.n.p (N= nombre de croisements, n = nombre de brins, p = numéro d'ordre donné par Rolfsen) :

Le plus simple des entrelacs : celui de Hopf  2.2.1  qui est aussi l'entrelacs torique de type (2,2) ; la somme de n entrelacs de Hopf donnant un entrelacs à n+1 anneaux comme ceux des Jeux.

Entrelacs 4.2.1  ou nud de Salomon qui est aussi l'entrelacs torique de type (4,2). 

Entrelacs de Whitehead 5.2.1

Entrelacs 6.2.1 ou sceau de Salomon (ne pas confondre avec le noeud !),  polygramme {6/2} entrelacé ou entrelacs torique (6,2).

Anneaux de Borromée 6.3.2

Faux anneaux de Borromée : le premier n'est autre qu'une chaîne de Hopf à 3 anneaux (qui n'est même pas un entrelacs premier) et le deuxième le 6.3.3 (chaque anneau est enlacé avec chaque autre).

Voir aussi le noeud de Carrick, les entrelacs brunniens, qui deviennent triviaux lorsque l'on supprime l'une des composantes, les entrelacs de billard, les bonnets turcs, les entrelacs de bretzel, les entrelacs celtiques linéaires, l'entrelacs de l'icosidodécaèdre, les surfaces de Seifert, qui remplissent un entrelacs, le collier d'Antoine, qui est limite d'une suite d'entrelacs.
 
On pourra remarquer que le tissage représenté à gauche est en fait un entrelacs trivial. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle il est réalisable en papier crépon sans déchirure !

 

Superbe entrelacs d'hexagones provenant de la cité interdite de Pékin.

Serpents, de M.C. Escher : Un entrelacs hyperbolique !

Liens :
Applette java permettant de retrouver le code de Gauss d'un entrelacs à partir de son tracé : knotilus.math.uwo.ca/javasketch.php
Site permettant de retrouver un entrelacs premier à partir de son code de Gauss : knotilus.math.uwo.ca
Site de Christian Mercat, pour apprendre à créer soi-même des entrelacs : www.entrelacs.net/
Logiciel de Géraud Bousquet pour dessiner des entrelacs à partir d'un graphe
www.entrelacs-knots.net/
www.math.utk.edu/~morwen/index.html
www.clanbadge.com/knots.htm
Vitrail de l'abbaye d'Aubazine
mathouriste.canalblog.com/
 
 
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© Robert FERRÉOL  2016