ENTRELACS

Un peu de théorie et des activités.

I) DIAGRAMME PLAN D'UN ENTRELACS
 
Un entrelacs est un ensemble fini de courbes fermées dans l'espace (les brins), ne se coupant pas, ni elles mêmes, ni deux à deux. On considère comme équivalents deux entrelacs si on peut déformer continûment l'un en l'autre, sans coupures.

Si l'on projette un entrelacs sur un plan, on obtient, quitte à déformer localement les brins, un ensemble de courbes dont les croisements ne font intervenir que deux portions de courbes au maximum.

En fait, on obtient un graphe planaire (i.e. dont les arêtes ne se croisent pas) 4-régulier : à chaque sommet aboutissent 4 arêtes exactement.
Le nombre de sommets du graphe est le nombre de croisements de la projection de l'entrelacs.
 

Inversement tout graphe planaire 4-régulier est la projection d'un entrelacs.

ACTIVITÉ 1
Pouvez-vous dessiner un tel graphe et compter combien il a de brins ?
 
 
 
 
 

 

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Pour pouvoir reconstituer l'entrelacs, il faut bien sûr indiquer quel brin passe dessus et lequel passe dessous, ce que nous avons fait ci-contre.

Cependant y a-t-il un moyen de particulariser les sommets du graphe de façon à reconnaître le type du sommet correspondant ?

Une possibilité est de choisir un sens de parcours sur chaque brin et de décréter positif ou négatif le croisement, en utilisant la convention indiquée à droite.
ACTIVITÉ 2 : choisir des sens de parcours et coder les sommets du premier diagramme.

 
Voici une réponse possible. Bien sûr, pour un sommet donné, si l'un des sens de parcours change, le signe change (et si les deux changent, le signe reste identique). Et s'il y a n brins, il y a 2n façons de choisir les sens de parcours...
Il existe une autre façon de coder les sommets, en particularisant cette fois les faces : voici comment.
Nous sommes en fait devant une carte de géographie dont tous les sommets sont de degré pair. Une telle carte est coloriable avec deux couleurs. Nous les avons appelées a et b, mais vous pourrez hachurer a et laisser b en blanc...
Les sommets sont maintenant décrétés positifs ou négatifs par les conventions ci-contre.
Évidemment, l'échange des deux couleurs échange les + et les .

ACTIVITÉ 3 : coder dans la figure précédente les sommets par cette méthode.


 
A tout graphe planaire 4-régulier à sommets étiqueté + ou correspond donc un unique entrelacs.
 

ACTIVITÉ 4 : étiqueter comme bon vous semble les sommets du graphe de l'activité 1 et dessiner ci-contre l'entrelacs associé.
 

 

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Que se passe-t-il si tous les sommets sont étiquetés + (ou tous ) ?

ACTIVITÉ 5 : répondre à partir d'un exemple.

Vous avez certainement constaté que dans ce cas, lorsqu'on suit un brin, les passages se font alternativement dessus et dessous. Un tel entrelacs est dit alterné.
On montre qu'un entrelacs alterné est indécomposable (explications orales).
NOTA : remarquons qu'un brin donné dans un entrelacs alterné, ne forme en général pas lui-même un noeud alterné !

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Vous avez dû remarquer qu'il n'est pas facile de tracer les passages dessus-dessous. Le plus facile est de tracer un brin en continu, et de ne s'arrêter que lorsqu'on arrive à une portion déjà tracée. 

ACTIVITÉ 6 : le faire pour l'exemple du départ.

Que constatez-vous pour l'entrelacs obtenu ?
 

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II) Graphe associé au diagramme de l'entrelacs.
 
A partir du diagramme de l'entrelacs, nous allons définir un graphe plus simple qui va le caractériser. Ce graphe a été découvert par Peter Tait en 1880, lors de sa démonstration du théorème des 4 couleurs (démonstration qui comme on le sait, s'est avérée fausse).
De façon abstraite, ce graphe a pour sommets les faces de couleur a (par exemple) dans le diagramme d'entrelacs, deux faces étant reliées par une arête si elles ont un sommet en commun.
C'est un graphe planaire que l'on obtient concrètement en plaçant un point au "centre" de chaque face et en reliant ces points par des chemins passant par les croisements.

Chaque arête de ce graphe est décrétée positive si le sommet qu'elle traverse est positif.


 
 
Comment récupérer l'entrelacs à partir de son graphe associé ?
Sans s'occuper des dessous-dessus dans un premier temps, plaçons une croix sur chaque arête, et relions ces croix en suivant les arêtes rouges.

D'une façon générale, on obtient ainsi le graphe dit graphe médial du graphe rouge. Ses sommets sont les arêtes du graphe planaire de départ, deux sommets étant reliés si les arêtes sont consécutives sur une face.

Vous avez remarqué qu'on a stylisé et rendu plus symétrique le graphe rouge ; cela va permettre d'obtenir un entrelacs plus esthétique.



 
Pour obtenir les passages dessus/dessous, poser les deux index sur l'arête et tracer suivant l'index droit si l'arête est négative, gauche sinon. Relier ensuite.

Si vous voulez un entrelacs alterné, toutes les arêtes doivent être du même signe, et vous poserez toujours le même index.


 
 
ACTIVITÉ 7 : tracer le graphe triangle et son entrelacs alterné associé, qui est le noeud de trèfle.
 

Que donnent les deux autres graphes connexes à 3 arêtes ?
 
 

 

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ACTIVITÉ 8 : tracer des graphes à 4 arêtes sans sommets libres et leur entrelacs correspondant. Vous devez obtenir soit un noeud à 4 croisement dit noeud de huit, soit un entrelacs à deux brins appelé noeud de Salomon.
 

 

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Le noeud de trèfle.

 
 
 
Le noeud de Salomon.
Le noeud de huit.

III) Entrelacs associés à des graphes duaux.
 
Pour le tracé du graphe associé, nous avons choisi arbitrairement les faces de couleur b ; prenons cette fois celle de couleur a (y compris la face externe, non bornée).

On obtient un autre graphe, qui n'est autre que le dual du précédent.

Par conséquent, deux graphes duaux donnent le même entrelacs.

ACTIVITÉ 9 : vérifier que pour le noeud de Salomon et celui de huit, les deux graphes bleus sont bien duaux.