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HÉLICE ou COURBE DE PENTE CONSTANTE
Helix or curve of constant slope, Böschungslinie oder Kurve von konstanter Steigung

Une hélice de base astroïdale

Du latin "helix", issu lui même du grec "eliks" : spirale.
Autres noms : courbe d'égale pente, courbe isocline.

 
Le plan fixe étant xOy , condition différentielle : 
soit en coordonnées cartésiennes : 

Paramétrisation cartésienne connaissant la base de l'hélice, de paramétrisation 
Rayons de courbure et de torsion,  étant le rayon de courbure de la base : et 
Equation différentielle des hélices tracées sur la surface , avec les notations de Monge :  à voir

Équation cylindrique des hélices tracées sur la surface de révolution   : 

Les hélices sont les courbes dont les tangentes font un angle constant a avec un plan fixe (P0), ou avec une direction fixe d (orthogonale à (P0)).

La notion d'hélice en mathématiques a donc plus de rapport avec une route de montagne de pente constante qu'avec une hélice de bateau...

Conditions équivalentes:
 - courbe dont l'indicatrice sphérique de courbure est plane (donc incluse dans un cercle).
 - courbe dont les normales principales restent parallèles à un plan fixe (égal à (P0)).
 - courbe dont les binormales font un angle constant avec une direction fixe (la même que les tangentes).
 - courbe dont l'indicatrice sphérique de torsion est plane (donc incluse dans un cercle).
 - courbe dont la torsion est proportionnelle à la courbure (théorème de Lancret).
 - trajectoire d'un mouvement dont les vecteurs dérivés second, troisième et quatrième sont coplanaires.
 - géodésique d'un cylindre (le cylindre engendré par les parallèles à d) - autrement dit, si l'on développe le cylindre sur lequel l’hélice est tracée, l'hélice devient une droite.

Une hélice est entièrement définie par la donnée de sa projection dans (P0) (sa base) et l'angle a.

Exemples (on notera que les hélices sont désignées soit par rapport à leur base, soit par rapport à la surface sur laquelle elles sont tracées) :
    - la droite (les droites d'une surface sont donc des hélices de cette surface)
    - l'hélice circulaire (base = cercle)
    - l'hélice conique (tracée sur un cône de révolution vertical, base = spirale logarithmique)
    - l'hélice elliptique (base = ellipse)
    - l'hélice sphérique (tracée sur la sphère, base = épicycloïde)
    - l'hélice du paraboloïde (base = développante de cercle).
 
   - l'hélice caténoïdique (base = chaînette ) : () ;
elle est tracée sur le cylindre hyperbolique  , ainsi que sur la surface , qui est de révolution pour a = b.
Courbe étudié par Catalan en 1878.
L'hélice caténoïdique est la génératrice de l'hélicoïde minimal.

 
     - l'hélice torique (tracée sur le tore, le plan de référence étant orthogonal à l'axe du tore) : 

Hélice de pente 1 du tore

 
Exemple de détermination des hélices d'une surface : celles de  l'hyperboloide de révolution : x² + y² = z² +1, paramétré par

x = ch u cos v, y = ch u sin v, z = sh u.

On écrit que dz/ds = tan a,  soit dx² +dy² = dz² cot² a, soit ici :
 sh² u du² +ch²u dv² = ch² u cot² a du²

soit    racine(cot²a - th² u) du = dv, d'où l'on tire v en fonction de u.

Pour a = pi/4 on retrouve les droites incluses.

Ci-contre ont été tracées les hélices pour cot a = 2.
 

Voir aussi les surfaces d'égale pente.
 
 
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© Robert FERRÉOL 2009