Ligne de courbure

LIGNE DE COURBURE d'une surface
Curvature line of a surface, Krümmungslinie einer Fläche

Notion étudiée par Monge en 1776 et Dupin en 1813.
Autre nom : courbe principale.

Équation différentielle : où est le vecteur normal à la surface en M,
soit , s'écrivant : .
Avec les notations de Monge : (voir les notations ).

Les lignes de courbure d'une surface possèdent trois définitions équivalentes :

DEF 1 : ce sont les courbes tracées sur la surface qui sont tangentes en chaque point à l'une des directions principales (c'est-à-dire à la direction où la courbure est maximale, ou celle où elle est minimale) ; ces deux directions sont les axes de la conique indicatrice de Dupin relative à ce point.

DEF 2 : ce sont les courbes tracées sur la surface à torsion géodésique nulle.

DEF 3 : ce sont les courbes tracées sur la surface telles que la normalie associée soit développable autrement dit, telles que les normales à la surface le long de la courbe possèdent une enveloppe (l’arête de rebroussement de la normalie est alors le lieu des centres de courbure des sections principales tangentes à la ligne de courbure).

Par tout point qui n’est ni un ombilic ni un méplat passent deux lignes de courbure orthogonales, l'une correspondant à une courbure maximale, l'autre à une courbure minimale.
Dans le domaine de la surface formé de ses points hyperboliques, les lignes de courbure sont les bissectrices des lignes asymptotiques.

Le théorème de Joachimstal énonce qu'étant donné deux surfaces (S₁ ) et (S₂) se coupant suivant une courbe (C), deux parmi les trois propriétés suivantes entraîne la troisième.
    - l'angle des deux surfaces le long de (C) est constant
    - (C) est ligne de courbure de (S₁)
    - (C) est ligne de courbure de (S₂)

On en déduit par exemple qu'un plan coupe une surface suivant une ligne de courbure ssi ce plan coupe la surface suivant un angle constant.

On en déduit aussi le théorème de Dupin : dans un système triple orthogonal de surfaces, c’est-à-dire une famille de surfaces telles qu’en chaque point de chaque surface passent exactement deux autres surfaces de la famille telles que ces trois surfaces sont deux à deux orthogonales en ce point, les surfaces se coupent suivant leurs lignes de courbure.

Par similitude, et même par transformation conforme (par exemple par inversion), mais pas par transformation affine, les lignes de courbures se transforment en lignes de courbure.

Exemples de lignes de courbure :
- dans un plan ou une sphère, toute ligne est ligne de courbure.
- pour une surface de révolution, les deux familles de lignes de courbure sont formées des méridiennes et des parallèles.
- pour une surface développable (donc en particulier pour les cônes et cylindres), les deux familles de lignes de courbure sont les (droites) génératrices et leurs trajectoires orthogonales.
- plus généralement, pour une surface de Monge , les lignes de courbure sont les génératrices et les directrices.
- les surfaces dont les lignes de courbure sont des cercles ou des droites sont les cyclides de Dupin.
- lignes de courbures des quadriques : voir sur les pages correspondant à chaque type de quadrique.
Signalons déjà que la famille des quadriques homofocales : ( ) forme un système triple orthogonal. Ce sont des ellipsoïdes pour , des hyperboloïdes à une nappe pour , et des hyperboloïdes à deux nappes pour . Ceci détermine donc les lignes de courbures de ces surfaces.

Voir aussi la notion de focale et les surfaces à lignes de courbure planes.

Ellipsoïde avec ses lignes de courbure, par Patrice Jeener, avec son aimable autorisation.

Surface minimale périodique, avec ses lignes de courbure

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