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PSEUDO-GÉODÉSIQUE d'une surface
Pseudogeodesic, Pseudogeodätische


Notion étudiée par W. Wunderlich en 1951.
Voir aussi Erwin Kruppa, Analytische und konstruktive Differentialgeometrie, p. 159.

Les (lignes) pseudo-géodésiques d'une surface sont les courbes tracées sur la surface dont le plan osculateur fait un angle fixé  avec le plan tangent à la surface ; lorsque cet angle est droit, on obtient les géodésiques proprement dites, et lorsqu'il est nul, les asymptotiques.
D'après les formules  (voir les notations), ce sont les courbes dont la courbure normale, ou la courbure géodésique, est proportionnelle à la courbure, ou dont la torsion géodésique est égale à la torsion.
 
Calcul des pseudo-géodésiques dans le cas d'un cylindre vertical (voir les notations).
La première courbure principale  est celle de la section horizontale ; l'autre étant nulle, la formule d'Euler s'écrit , où  est l'angle de la courbe avec la verticale ; d'où la courbure géodésique  (1).
Or  et  où  est l'angle tangentiel de la section horizontale ; en remplaçant dans (1) on obtient , d'où en prenant  pour , ; or , d'où l'équation générale des pseudo-géodésiques : .
Pour un cylindre de révolution, , d'où , voir ci-dessous.

Exemple : les pseudo-géodésiques propres du cylindre de révolution sont les courbes qui se développent en des chaînettes d'axe parallèle à l'axe du cylindre (donc cas particulier de chaînettes généralisées). Équations :
Paramétrisation où  est l'angle entre plan osculateur et plan tangent : .
Ci-contre, animation pour  décrivant .
Voir ici la surface pliée suivant cette courbe.

 
 
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© Robert FERRÉOL  2018