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LOXODROMIE DE LA SPHÈRE
Loxodrome of the sphere, Loxodrome der Kugel
Loxodromie faisant un angle de 5 degrés avec les parallèles

Courbe étudiée par Pedro Nunes en 1537, Simon Stevin en 1608, Maupertuis en 1744; nom donné par Snellius en 1624.
Autres noms : ligne de rhumb, ligne de vent.

 
En prenant  = longitude, = latitude,  est l’angle constant que fait la courbe avec les parallèles :
Équation différentielle sphérique : .
Hormis le cas des parallèles :  = cte obtenus pour  = 0 :
Équation sphérique : .
où gd-1 est la fonction de Gudermann inverse, définie pour  par : 
gd-1 (x) = ln (tan(x/2 + /4)) = argsh(tan x) = argth(sin x) = signe(x).argch(sec(x)),
(dont la courbe est la radioïde pseudo-elliptique).
Équation cylindrique pour  (d'où la paramétrisation : )
Rayon de courbure : .
Rayon de torsion : .

Les loxodromies de la sphère, associées à un axe donné, sont les courbes faisant un angle constant avec les parallèles (ou avec les méridiens).
Ne pas confondre les loxodromies avec les hélices sphériques, qui font, elles, un angle constant avec le plan de l'équateur, ni avec les clélies.

Les loxodromies correspondent aux droites en coordonnées de Mercator  ; autrement dit, sur les cartes terrestres en projection de Mercator, on dessine les loxodromies par des droites. L'angle a que font, sur la carte, les images des loxodromies avec l'horizontale est le même que celui qu'elles font sur la sphère avec les parallèles.
Si l’on connaît les coordonnées géographiques  et  de deux points, l’angle a associé à la loxodromie la plus courte joignant ces deux points est obtenu par la formule : , et la longueur est donnée par : .
La notion de loxodromie s'oppose à celle d'orthodromie (ou géodésique), chemin le plus court joignant deux points de la sphère, qui est un arc de grand cercle ; par comparaison, la longueur de l'orthodromie joignant les deux point ci-dessus est donnée par la formule .
 

La loxodromie (en rouge) et l'orthodromie (en bleu) joignant le point de longitude 15° ouest et de latitude 15° sud au point de longitude 150° ouest et de latitude 60° nord.
voir aussi www.sciences.univ-nantes.fr

 

Les mêmes sur une carte en projection de Mercator !!!


 
Le double réseau de loxodromies faisant un angle de ±45° avec les méridiens forme un élégant réseau de courbes orthogonales sur la sphère.

Comparer avec le réseau des courbes de Viviani.

Musée maritime d'Osaka  (architecte P. Andreu).
Le réseau de tubulures suit très probablement les loxodromies précédentes.

 
Dôme hémisphérique photographié depuis la tour de Pise.
Le centre K d'une tuile de la rangée n+1 étant au droit de la jonction de deux tuiles de centres I et J de la rangée nIK et JK forment des angles de 45° avec le parallèle passant par I et J ;  les centres successifs des tuiles suivent des loxodromies à 45°.

Photo : Alain Juhel.

La projection orthogonale de la loxodromie sur le plan de l'équateur est, comme le montre l'équation cylindrique ci-dessus, la spirale de Poinsot bornée.


 La vue de dessus d'une loxodromie est une spirale de Poinsot bornée

La projection stéréographique de pôle nord sur le plan de l'équateur est la spirale logarithmique, faisant le même angle  avec le rayon vecteur que la loxodromie fait avec les méridiens (puisque la projection stéréographique est une transformation conforme).
 

Des loxodromies vues par Escher


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2013