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NŒUD DE TRÈFLE
Trefoil knot, Kleeblattschlinge
Noeud de trèfle gauche

Sites
Knot atlas
etacar.put.poznan.pl/piotr.pieranski/IdealKnots.html

 
Représentation cartésienne dont la projection sur xOy est une hypotrochoïde : (dextre, (ou droit) pour , senestre (ou gauche) pour 
Représentation par solénoïde torique de coefficient n = 3/2 : .
 Autre représentation : .

Voir aussi ici un noeud de trèfle ouvert.

Le noeud de trèfle est l'unique noeud dont le nombre minimal de croisements est minimal, à savoir 3 ; il en existe en fait deux, énantiomorphes (images l'un de l'autre par réflexion).

C'est un demi-noeud de cordage :  dont on a relié les extrémités.
 

Le noeud de trèfle est aussi le noeud torique de type (3,2) (3 enroulements autour du tore, sur deux tours), ainsi que celui de type (2,3) :

noeud torique à 3 enroulements sur 2 tours

noeud torique à 2 enroulements sur 3 tours ;
contrairement aux apparences, on obtient le noeud de trèfle et non le noeud en huit.
Le noeud de trèfle est le bord d'un ruban de Möbius à 3 demi-torsions.

 
 
Inversement, une bande nouée en noeud de trèfle donne un ruban de Möbius à 3 demi-torsions :

 
Ci-contre, un noeud de trèfle obtenu par une ligne polygonale gauche fermée à 6 segments ; contrairement aux apparences, les 6 barres ne sont pas de la même longueur et je conjecture qu'il est impossible qu'elles le soient sans qu'elles ne se touchent.

Anaglyphe réalisé par Alain Esculier, à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et cyan (à droite).

Le même, en bande pliée.
Le ruban présente 6 demi-tours, donc n'est pas un ruban de Möbius (il a deux faces, et deux bords).
(Logo du point gamma, soirée étudiante de Polytechnique).

 
Je conjecture également qu'il est impossible d'obtenir un noeud de trèfle à 5 barres, excepté dans la figure impossible ci-contre (idée d'Alain Esculier, à la manière d'Oscar Reutersvärd.). Pour 6 barres, impossible également que les segments soient deux à deux parallèles, sauf de nouveau pour cette figure impossible
Ci-contre, plusieurs vues d'un noeud de trèfle formé de lignes polygonales à angles droits.

On démontre que cette figure représente le plus petit noeud de trèfle passant par les sommets d'un réseau cubique.

Deux autres versions polygonales à 9 et 12 segments.

 
L'appellation "noeud de trèfle" est probablement due à la ressemblance des représentations ci-contre avec une feuille de trèfle :
trèfle gauche
trèfle droit

 
Ce noeud à 4 croisements apparents est un noeud de trèfle (tournez la boucle du haut pour faire disparaître le croisement central).

Inversez les deux croisements du haut (ou du bas) et vous obtenez un noeud de huit.

La ficelle de ce paquet forme un noeud de trèfle (mais si l'on inverse un croisement, le noeud devient trivial).

 
On pourrait désigner par "noeud de trèfle à 4 feuilles" la courbe dont la projection sur xOy est une hypotrochoïde à 4 feuilles, de paramétrisation : . Le noeud obtenu est équivalent au noeud torique de type (4,3), et au 19ème noeud premier à 8 croisements. Le noeud ayant la même vue de dessus, mais des croisements alternés dessus-dessous est, lui, équivalent au 18ème noeud premier à 8 croisements.
Ceci peut se généraliser au "noeud de trèfle à n feuilles" : qui est en fait équivalent au noeud torique de type (n, n – 1). Le cas alterné donnerait un bonnet turc de type (n, n – 1).

Voir aussi les deux graphes associés au noeud de trèfle, la surface de Seifert associée au noeud de trèfle, les noeud plats, et "de vache", sommes de deux noeuds de trèfle.

Le noeud de trèfle dans l'art :
 
trèfle gauchetrèfle droit

Le noeud celtique simple est un noeud de trèfle

trèfle gauchetrèfle droit
Le noeud de trèfle vu par Escher

Le noeud de trèfle vu par Escher

sculpture en noeud de trèfle, université de Flensburg
 

Sculpture en noeud de trèfle, université de Flensburg
Il s'agit cette fois d'un ruban de Möbius.

Le noeud de trèfle est souvent utilisé comme logo :
 
Somme de 4 noeuds de trèfles, celtique à gauche, mongole à droite.

Derrière le logo Woolmark, on peut imaginer un noeud de trèfle...


 

Noeud de trèfle celtique entrelacé avec un noeud trivial.
N° 32 des entrelacs à 9 croisements.


Noeud de trèfle extra-terrestre !

 
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© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2015