Paramétrisation cartésienne :  provenant de. En coordonnées sphériques :  . Courbe algébrique pour k rationnel.

Les courbes des satellites sont les diverses trajectoires d'un point M d'un grand cercle fixe d'une sphère en rotation autour d'un de ses axes, M ayant un mouvement uniforme sur le cercle.
On peut aussi voir ces courbes comme les trajectoires des points d'un cercle en rotation uniforme autour de son axe, cet axe étant lui-même en rotation uniforme autour d'un axe passant par le centre du cercle.

Le nom de courbe des satellites vient de ce que la trajectoire dans le référentiel terrestre d'un satellite en rotation circulaire uniforme autour du centre de la terre est une telle courbe : voir par exemple ce livre (pages 177 à 181).

Dans la paramétrisation ci-dessus, la sphère centrée en O tourne autour de Oz et le plan du cercle fait un angle  avec xOy ; k est le rapport de la vitesse de rotation de M sur le cercle à la vitesse de rotation de la sphère autour de son axe.

Les courbes des satellites contiennent comme cas particuliers :
    - les clélies lorsque le grand cercle rencontre l'axe de rotation de la sphère ().
    - les hélices sphériques lorsque  (dans la deuxième définition ci-dessus, le cercle roule sans glisser sur un cercle fixe) ; c'est le cas où la courbe a des points de rebroussement.

Exemples :

k = 1 (rotation du satellite égale à celle de la sphère) La courbe n'est autre que l'hippopède d'Eudoxe, correspondant aux trajectoires des satellites géostationnaires.	k =1/ 2 (vitesse de rotation du satellite moitié de celle de la sphère) Noter l'arrêt correspondant à l'hélice sphérique (rebroussement)  et celui correspondant à la clélie (passage par les pôles)	k = 2 (vitesse de rotation du satellite double de celle de la sphère) La courbe n'est autre que celle de la balle de tennis, du moins tant qu'elle n'a pas de point double. Noter qu'il y a une clélie, mais pas d'hélice sphérique.

La linéarisation des expressions de x et y ci-dessus montrent que les projections sur xOy des courbes des satellites sont
    - pour k > 1 : des hypotrochoïdes de paramètre , ce qui donne 
    - pour k < 1 : des épitrochoïdes de paramètre , ce qui donne .
Voir les courbes de Capareda pour une présentation des courbes des satellites en rapport avec cette projection plane.

Quelques exemples pour :

q = 4, k = 2	q = 6, k = 3/2	q = 8,  k = 4/3	q = 3, k = 3	q = 8/3 , k = 4
q = 4, k = 1/2	q = 6, k = 2/3	q = 8,  k = 3/4	q = 3, k = 3	q = 8/3 , k = 4

Il est à noter que les courbes des satellites ne sont pas des trochoïdes sphériques, excepté dans le cas des hélices sphériques, qui sont aussi des cycloïdes sphériques.
Cependant les trochoïdes sphériques et les courbes des satellites peuvent être réunies en la famille des courbes trajectoires d'un point M d'un cercle fixe quelconque d'une sphère en rotation autour d'un de ses axes, M ayant un mouvement uniforme sur le cercle.

La paramétrisation cartésienne générale de ces courbes est :
provenant de ; a est la distance à l'axe, b le rayon du cercle,  son inclinaison, k le rapport des vitesses ; le rayon de la sphère, centrée en O, est .
 
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2009