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LIGNE DE STRICTION D'UNE SURFACE RÉGLÉE NON DÉVELOPPABLE
Striction line of a ruled surface, Kehllinie einer Regelfläche


Paramétrisation : , pour la surface réglée représentée par  ;
Si l'on normalise ) , la formule se simplifie en  et alors M1 décrit la ligne de striction ssi .

Le paramètre de distribution s'interprète géométriquement par la formule , où  est l'angle entre le plan tangent en C et le plan tangent en M ; de façon équivalente, la surface engendrée par les normales le long de la génératrice est un paraboloïde hyperbolique équilatère d'équation cylindrique  dans un repère Cxyz, Cz étant la génératrice.

Par conséquent, quand  d > 0 (surface dextre) le plan tangent tourne dans le sens direct quand on avance le long de la génératrice, et dans le sens indirect dans le cas senestre.
La courbure totale en M est alors donnée par la formule de Lamarle : .

La ligne de striction d'une surface réglée non développable est le lieu des points centraux (ou points de striction) de chaque génératrice non parabolique de la surface ; ces points sont
    - les points où le plan tangent est perpendiculaire au plan asymptotique (c'est à dire la limite du plan tangent lorsqu'il va à l'infini le long de la génératrice), ou ,
    - les points où la valeur absolue de la courbure totale le long d'une génératrice admet un maximum (cf. la formule de Lamarle ci-dessus), ou encore
    - les points limites de la perpendiculaire commune à la génératrice et à une autre génératrice qui tend vers elle.
Cette dernière définition fonctionne aussi dans le cas où la surface est développable, et la ligne obtenue n'est alors autre que l'arête de rebroussement de cette surface.

La ligne de striction n'est pas forcément orthogonale aux génératrices (la condition est l'orthogonalité de M1' et a', pas de M1' et a) ; par contre, elle contient les points (localement ?) singuliers de la surface.

Lorsque la surface est réglée à plan directeur, la projection de la ligne de striction sur le plan directeur est l'enveloppe des projections des génératrices.

Exemples :
    - la ligne de striction d'un conoïde est son axe dans le cas droit, mais pas forcément dans le cas oblique.
    - la ligne de striction d'un hyperboloïde à une nappe  est son cercle de gorge lorsqu'il est de révolution, mais pas dans le cas général.
    - la ligne de striction d'un hélicoïde réglé est son hélice de gorge.
    - la ligne de striction du paraboloïde hyperbolique.
    - la ligne de striction de la surface de Möbius
    - la ligne de striction du berlingot

Quelques illustrations de ces notions, par Robert March

Références : (Mir p.64, 67)  (Deltheil p.251)  (Bouasse p. 514)
 
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© Robert FERRÉOL , Robert MARCH  2003