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courbe du C ŕ l'étape 14 : 2 minutes de calcul avec maple...
COURBE DU C (ou COURBE DE LÉVY)
C curve (or Levy's curve), C-Kurve (oder Levysche Kurve)
Courne étudiée par Paul Lévy en 1938.
Paul Lévy (1886 - 1971) : mathématicien français.
Autre nom : dragon de Lévy.

La courbe du C est l'attracteur dans le plan de deux similitudes directes de centres distincts A et B, de rapport   et d’angles  ; sa dimension fractale est donc £; on montre que sa dimension est exactement 2, mais que sa frontière a pour dimension environ 1,9340.

Voici la suite des compacts convergeant vers cette courbe, en partant de [AB] :
 
étapes 0 et 1
étapes 1 et 2
étapes 2 et 3
étapes 3 et 4
étape 4 et 5
étape 5 et 6
étape 7
étape 8
étape 9
étape 10
étape 11
étape 12


Vue illustrant  les deux similitudes internes

Regarder aussi l'arbre dont la courbe du C est le feuillage, et la définition de la courbe du C par L-système.

La courbe du C est la réunion quasi disjointe de deux copies d'elle-même ; il y a exactement six figures du plan ayant cette propriété.

Comme sa cousine la courbe du dragon, la courbe du C pave le plan.
Variantes :

Si l'on considère un triangle (ABC) isocèle rectangle en C, soit f une isométrie qui transforme [AB] en [AC] et g une isométrie qui transforme [AB] en [CB] ; suivant la nature de f et g, on obtient, comme attracteur de f et g, les diverses courbes suivantes :
 
A et B ont pour images respectives par f A et B ont pour images respectives par g de plus  Courbe associée
A et C C et B  f et g sont directes Courbe du C
A et C B et C f et g sont directes Courbe du dragon
C et A B et C f et g sont directes Courbe de Césaro
(pour les étapes paires)
A et C B et C f et g sont indirectes Courbe de Polya
( et on peut montrer que les diverses autres combinaisons avec f et g de même orientation redonnent l'une de ces 4 courbes)

Ci-dessous le dessin original de Paul Lévy paru dans son article de 1938.

Personnellement, j'aurais plutôt baptisé la courbe du C "courbe du crabe", regardez :


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2010