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COURBE DU DRAGON
Dragon curve, Drachenkurve

Courbe étudiée par Heighway en 1960.
Voir la programmation Povray sur cette page d'Alain Esculier.

Étant donné un triangle ABC, isocèle rectangle en C,  la courbe du dragon est l'attracteur dans le plan des deux similitudes directes transformant, l'une (A,B) en (A,C), l'autre (A,B) en (B,C) ; ces deux similitudes étant de rapport , la dimension fractale du dragon, qui est compact et connexe, est  ;

En partant de [AB], voici la suite des compacts convergeant vers cette courbe, constituant les courbes du dragon approchées ; ces courbes possèdent la propriété remarquable d'être continues et de ne jamais se traverser elles-mêmes, contrairement à celles de la courbe du C :
 
 
étape 9


Vue illustrant  les deux similitudes internes

Si l'on prend, dans le plan complexe, A = 0 et B = 1, les deux similitudes sont  et  où  ; et si l'on unit le dragon D avec son symétrique 1 - D par rapport au milieu de [AB] on obtient le dragon symétrisé D' :

On peut montrer que 2rD' n'est autre que l'ensemble unité Ur des complexes qui s'écrivent comme sommes (finies ou infinies) de puissances à exposants entiers naturels du nombre r ; Ur est également l'attracteur des deux similitudes  et .

La courbe du dragon possède la propriété remarquable de pouvoir paver le plan :

Elle possède aussi une définition physique très simple ; si l'on plie une feuille de papier n fois sur elle-même, toujours dans le même sens, et que l'on déplie la feuille en remplaçant les plis par des angles droits, le profil de la feuille donne la courbe du dragon à l'étape n.

On peut en déduire une construction géométrique simple de la courbe approchée du dragon d'ordre n : la ligne orientée Dn s'obtient à partir de Dn-1 en prolongeant cette dernière à partir de son extrémité par une rotation autour de cette extrémité de +90° de la figure Dn-1.

La suite Sndes sens gauche (G) ou droite (D) des plis à l'étape n :

S1 = D
S2 = DDG
S3 = DDGDDGG

possède de nombreuses définitions remarquables :

DEF 1 :  où la notation  signifie que le mot est écrit à l'envers et en intervertissant les lettres D et G.

DEF 2 :  s'obtient à partir de  en intercalant alternativement des D et des G, en commençant par un D ; par exemple :

DEF 3 : prendre le système de Lindenmayer sur l'alphabet ABCD avec la transformation

en partant de A, puis remplacer A et B par D et B et C par G.

Les  sont les préfixes d'une suite infinie S = (un) , appelée suite du dragon.

DEF 4 : f(D) = G et f(G) = D.

DEF 5 : un = D si le 1 le plus à droite de la décomposition en base 2 de n est précédé d'un 0, unG sinon.
Par exemple : .

Voir aussi la courbe de Polya, qui constitue une variante de la courbe.
 

Pour des informations sur la frontière de la courbe du dragon, voir www.poignance.com/math/fractals/dragon/bound.html.
 
 


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2001