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ESCALIER DU DIABLE
Devil's staircase, Teufelstreppe

Courbe découverte par Ludwig Scheeffer, élève de Cantor, en 1885.
La courbe de Bolzano-lebesgue avait été découverte en 1830 par Bolzano, mais non publiée.
Autres noms : courbe, ou escalier de Cantor-Lebesgue.
Références historiques : ce lien.

 
Équation cartésienne : y = f(x) où la fonction f est définie sur [0, 1] comme suit : si le développement ternaire impropre de x ne comporte que des 0 ou des 2 (c'est-à-dire, si x appartient à l'ensemble de Cantor), alors f(x) est le nombre obtenu en changeant les chiffres 2 en des chiffres 1, nombre lu en base 2.
Si le développement ternaire de x contient un 1, alors f(x) = f(x'), x' étant le nombre obtenu en tronquant x après le premier 1 rencontré.
Code Maple :
escalier:=proc(a,b,c,d,n) local liste; 
if n=0 then liste:=[a,b],[c,d] else liste:= 
escalier(a, b, (2*a+c)/3, (b+d)/2, n-1), 
escalier((2*a+c)/3, (b+d)/2, (a+2*c)/3, (b+d)/2, n-1), 
escalier((a+2*c)/3, (b+d)/2, c, d, n-1) fi;
liste end:
plot([escalier(0,0,1,1,3)]);

On note E l'espace des fonctions continues f réelles sur [0,1], telles que f(0) = 0 et f(1) = 1, et T l'opérateur défini sur E par :

On montre aisément que T est une contraction de E, qui est complet pour la norme de la convergence uniforme ; T admet donc un point fixe, appelée fonction de Cantor-Lebesgue. L'escalier du diable est la courbe de cette fonction.

Cette fonction a été construite pour donner un exemple de fonction continue ayant une dérivée nulle presque partout (sur le complémentaire de l'ensemble de Cantor) et qui n'est cependant pas constante ; autrement dit, l'escalier du diable est ainsi nommé car il est continu, a presque partout une tangente horizontale, et pourtant il monte ! Inversement bien sur, la tangente est verticale en tout point dont l'abscisse appartient à l'ensemble de Cantor.

Si l'on part de f0(x) = x, la fonction fn = Tn(f) est l'unique fonction de E qui est constante sur chacun des intervalles constituant le complémentaire de l'ensemble de Cantor à l'étape n , noté Cn, et affine de pente (3/2)n sur chacun des intervalles de Cn.

Si l'on veut un escalier du diable approché qui soit droit, on peut procéder comme suit :

L'escalier du diable est aussi l'attracteur des trois contractions affines F, G, H définies par . Le n-ième compact associé à cette famille de contractions, en partant du segment [(0,0) (1,1)] n'est autre que la courbe de la fonction fn.

Généralisation :
Si pour t dans ]0,1[, on considère les trois contractions Ft, Gt, Ht définies par :
, on obtient un attracteur qui est l'escalier du diable pour t = 1/2, et la courbe de Bolzano-Lebesgue pour t = 2/3.

La généralisation de la contraction T ci-dessus est Tt, définie par :

Le point fixe ft de Tt a la propriété remarquable d'être une fonction continue nulle-part dérivable pour t > 1/2.
Cas t = 0.4
Courbe de Bolzano-lebesgue, cas t = 2/3
Cas t = 0.9
Code Maple :
escalier:=proc(a,b,c,d,t,n) local liste; 
if n=0 then liste:=[a,b],[c,d] else liste:= 
escalier(a, b, (2*a+c)/3, (1-t)*b+t*d, t, n-1), 
escalier((2*a+c)/3, (1-t)*b+t*d, (a+2*c)/3, t*b+(1-t)*d, t, n-1), 
escalier((a+2*c)/3, t*b+(1-t)*d, c, d, t, n-1) fi; liste end:
plot([escalier(0,0,1,1,2/3,3)]);

Comparer avec la courbe du blanc-manger.

Voir aussi la courbe de Lebesgue, courbe définie à partir de la fonction de Cantor-Lebesgue.
 
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2002