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COURBE REMPLISSANTE
(plane- or space-) filling curve, füllende Kurve


Notion étudiée par Peano, 1890 ; Hilbert, 1891.
Autres appellations : courbe de remplissage, courbe de type Peano, voire courbe de Peano tout court.
Internet :
teachout1.net/village/fill.html
Voir aussi cet article.

Une courbe remplissante en dimension n est une courbe paramétrée continue de  dont le support a une mesure n-dimensionnelle non nulle (une aire non nulle en dimension 2, un volume non nul en dimension 3).

Voici une construction d'une courbe remplissant un compact K de  supposé réunion de p compacts  semblables à K numérotés de telle sorte que chaque compact touche le suivant.

(figure avec un carré, mais ceci vaut pour un compact quelconque)

On partage maintenant chacun de ces compacts en p compacts toujours semblables à K ce qui donne p2 compacts  numérotés de sorte que les p premiers recouvrent  les p suivants recouvrent  etc.., et les p derniers recouvrent  et de sorte que chaque compact touche toujours le suivant.

Si l'on peut recommencer ce processus à l'infini, on obtient  à l'étape une suite de pn  compacts   deux compacts successifs se rencontrant, recouvrant successivement les compacts .

Si t appartient à [0,1[ , posons  (où [ t] désigne la partie entière de t).

Les  , pour t fixé, forment alors une suite de compacts emboîtés dont l’aire tend vers 0 ; leur intersection est donc réduite à un point  ; la courbe paramétrée  est uniformément continue et se prolonge en une courbe  , courbe de Peano remplissant entièrement le compact K.

La courbe de Peano correspondant à cette construction, approchée à l'ordre n est la ligne brisée joignant les centres de gravité successifs des compacts  ; elle converge au sens de Hausdorff vers la courbe de Peano.
 

Dans le cas d'un carré partagé en 4 carrés, on obtient les courbes de Peano binaires, avec comme cas particuliers la courbe de Hilbert, ou la courbe de Moore. La courbe de Lebesgue est obtenue par le même principe de base, mais avec une astuce supplémentaire la rendant différentiable presque partout.

Dans le cas d'un carré partagé en 9 carrés on obtient les courbes de Peano ternaires ; lorsque les carrés sont parcourus par un balayage continu aller-retour, on obtient une courbe souvent appelée "la" courbe de Peano dans la littérature, car celui-ci en avait donné la paramétrisation dans son article de 1890 (mais la figure se trouvant dans cet article est celle de la courbe désignée maintenant par courbe de Hilbert ; Peano connaissait donc déjà bien cette dernière courbe ; il n'a détaillé la courbe ternaire que parce que les calculs sont plus simples dans ce cas).

Dans le cas d'un triangle rectangle isocèle coupé en deux triangles homothétiques, on obtient la courbe de Cesàro, dont 4 exemplaires donnent la courbe de Sierpinski.

Dans le cas d'un triangle isocèle évidé du triangle central, on obtient la courbe triangulaire de Sierpinski, qui remplit le tamis de Sierpinski.

Dans le cas d'un cube partagé en 8 cubes, on obtient la courbe de Hilbert 3D.

Voir aussi la courbe de Gosper, qui remplit l'île du même nom.

Il n'existe pas de courbe remplissante différentiable (partout).
 
 
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© Robert FERRÉOL 2006