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COURBE DE POLYA
Polya's curve, Polyasche Kurve


Courbe étudiée par Polya en 1913.
Georges Polya (1887 - 1985) : mathématicien hongro-américain.

 
Code maple de tracé :
polya:=proc(A,B,n,e)
local C; 
 if n=0 then [A,B] else C:=(A+B)/2+e*I*(B-A)/2: 
polya(C,A, n-1,-e), 
polya(C,B,n-1,-e)fi end:
n:=7:display(seq(complexplot(polya(0,1,n,1)[k]),k=1..2^n),axes=none,scaling=constrained);

Étant donné un triangle ABC, isocèle rectangle en C,  la courbe de Polya est l'attracteur dans le plan des deux similitudes indirectes transformant, l'une (A, B) en (C, A), l'autre (A, B) en (C, B) ; ces deux similitudes étant de rapport , la dimension fractale de la courbe de Polya, qui est compacte et connexe, est  ;ce qui est normal, puisque l'attracteur n'est autre que le triangle plein ABC, réuni avec son symétrique par rapport à (AC).

En partant de [AB], voici la suite des compacts convergeant vers cette courbe :
 


l'attracteur avec ses deux similitudes internes : Pas très fractal !

Comme pour la courbe du dragon, il y a une définition par pliage, mais ici, on plie la feuille alternativement dans un sens et dans l'autre.

La suite Sn des sens gauche (G) ou droite (D) des plis à l'étape n :

S1 = D
S2 = DDG
S3 = GDDDGGD

possède alors pour définitions :

DEF 1 :  où la notation S' signifie que le mot est écrit à l'envers et la notation S" signifie qu'on intervertit les D et les G.

DEF 2 : s'obtient à partir de  en intercalant alternativement des D et des G, en commençant alternativement par un D ou un G ; par exemple :


 
 
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© Robert FERRÉOL  2011