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POLYÈDRE TRONQUÉ
 Truncated polyhedron, abgestumpftes Polyeder

Un polyèdre est dit être obtenu par troncature d'un polyèdre de départ s'il est obtenu en ôtant de ce polyèdre (plein) l'intersection avec un demi-espace.

Lorsque la troncature fait disparaître un sommet et des portions d'arêtes aboutissant à ce sommet, on parle de troncature de sommet, détaillée sur cette page.

Lorsque la troncature fait disparaître une arête et des portions d'arêtes aboutissant aux extrémités de cette arête, on parle de troncature d'arête.

Pour les polyèdres réguliers on distingue 4 types de troncatures conduisant à des polyèdres ayant encore certaines régularités :
 
polyèdre tronqué aux sommets polyèdre tronqué aux arêtes polyèdre tronqué aux arêtes et aux sommets polyèdre tronqué aux arêtes et fortement tronqué aux sommets
Chaque sommet est tronqué par un plan perpendiculaire à l'axe de la rotation laissant le polyèdre invariant, créant S faces polygonales régulières d'ordre le degré des sommets. Chaque arête est tronquée par un plan parallèle à l'arête et perpendiculaire au plan médiateur des deux faces correspondantes, créant A faces hexagonales. Combinaison des deux précédentes ; il y a création de S faces polygonales régulières d'ordre le degré des sommets et de A faces rectangulaires. Combinaison des deux premières ; il y a création de S faces polygonales régulières d'ordre le double du degré des sommets et de A faces rectangulaires ; les F faces doublent leur nombre d'arêtes.

 
Ces constructions peuvent être étendues aux cas où on obtient des polyèdres étoilé :

 
Dans ce site, nous désignons par polyèdre chanfreiné le polyèdre obtenu par la troisième méthode:
chaque sommet de degré d est remplacé par un polygone d'ordre d, et chaque arête par un quadrilatère, ainsi qu'il est indiqué dans la figure ci-contre. Les anciennes faces restent du même ordre.
Si le polyèdre de départ a F0 faces, S0 sommets de degrés di et A0 arêtes, un polyèdre chanfreiné a alors :
S = somme(di)  sommets
F = F0 + S0 +  A0 faces
A = somme(di)  + 2A0 arêtes

Un polyèdre chanfreiné d'un dual est équivalent au polyèdre de départ.

Une méthode de chanfreinage est de choisir un "centre" sur chaque face (qui sera le centre de gravité quand la face est régulière), d'effectuer  une homothétie de même rapport k < 1 de centre ce centre et de relier les nouveaux sommets, en faisant apparaître A0 faces parallélogrammes, et S0 faces d'ordre le degré du sommet correspondant .
Avec cette méthode, les "faces" sommitales ne sont pas forcément planes ; elles le sont ssi les centres des faces aboutissant à un sommet sont coplanaires, ce qui est assuré lorsque tous les sommets sont de degré 3.

Le cas limite k = 0 donne alors un dual du polyèdre de départ.

Exemples : les 5 polyèdres réguliers fournissent, par chanfreinage, 3 des 13 polyèdres archimédiens :
 
 
Polyèdre de départ Polyèdre chanfreiné Rapport d'homothétie k
tétraèdre régulier

cuboctaèdre
k = 1/4
cube et octaèdre régulier

rhombicuboctaèdre
en partant du cube, et 
en partant de l'octaèdre.
dodécaèdre régulier et icosaèdre régulier

rhombicosidodécaèdre
en partant du dodécaèdre, et  en partant de l'icosaèdre.

Autres exemples :
 
Prisme pentagonal

orthobicoupole pentagonale allongée solide de Johnson J38
Tétraèdre tronqué et son dual

Contrairement aux apparences, le polyèdre obtenu n'est pas à faces régulières 
(sinon, la somme des angles autour d'un sommet d'un hexagone serait égale à 360°)
Dodécaèdre adouci, triaki-icosaèdre, hexaki-icosaèdre

Voir aussi les polyèdres adoucis.
 
 

Cristaux de fluorine, formant des cubes tronqués aux arêtes (photo, Alain Esculier)

Sculpture en cube tronqué aux arêtes et fortement tronqué aux sommets


Animation de la troncature des arêtes du cube


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© Robert FERRÉOL  Alain ESCULIER 2009