Polyèdre tronqué

POLYÈDRE TRONQUÉ
Truncated polyhedron, abgestumpftes Polyeder

Beau site en allemand : www.3doro.de/polyeder/

Un polyèdre est dit être obtenu par troncature d'un polyèdre de départ s'il est obtenu en ôtant de ce polyèdre (plein) l'intersection avec un demi-espace.

Lorsque la troncature fait disparaître un sommet et des portions d'arêtes aboutissant à ce sommet, on parle de troncature de sommet, détaillée sur cette page.

Lorsque la troncature fait disparaître une arête et des portions d'arêtes aboutissant aux extrémités de cette arête, on parle de troncature d'arête.

Pour les polyèdres réguliers on distingue 4 types de troncatures conduisant à des polyèdres ayant encore certaines régularités :

polyèdre tronqué aux sommets polyèdre tronqué aux arêtes polyèdre tronqué aux arêtes et aux sommets polyèdre tronqué aux arêtes et fortement tronqué aux sommets

Chaque sommet est tronqué par un plan perpendiculaire à l'axe de la rotation laissant le polyèdre invariant, créant S faces polygonales régulières d'ordre le degré des sommets. Chaque arête est tronquée par un plan parallèle à l'arête et perpendiculaire au plan bissecteur des deux faces correspondantes, créant A faces hexagonales.
Le nombre de sommets augmente de 2A, et celui d'arêtes de 3A. Combinaison des deux précédentes ; il y a création de S faces polygonales régulières d'ordre le degré des sommets et de A faces rectangulaires. Combinaison des deux premières ; il y a création de S faces polygonales régulières d'ordre le double du degré des sommets et de A faces rectangulaires ; les F faces doublent leur nombre d'arêtes.

Ces constructions peuvent être étendues aux cas où on obtient des polyèdres étoilé :

Dans ce site, nous désignons par polyèdre chanfreiné * le polyèdre obtenu par la troisième méthode :
chaque sommet de degré d est remplacé par un polygone d'ordre d, et chaque arête par un quadrilatère, ainsi qu'il est indiqué dans la figure ci-contre. Les anciennes faces restent du même ordre.
Si le polyèdre de départ a F₀ faces, S₀ sommets de degrés d_i et A₀ arêtes, un polyèdre chanfreiné a alors :
S, = somme(d_i) , sommets
F ,= F₀ + S₀ + A₀ , faces
A, = somme(d_i) + 2A₀ , arêtes.
* dans Wikipedia en anglais, la troisième méthode est désignée par cantellation, tandis que la deuxième est désignée par chamfering.

Un polyèdre et son dual ont des polyèdres chanfreinés équivalents.

Une méthode de chanfreinage est de choisir un "centre" sur chaque face (dans les exemples qui vont suivre c'est le centre de gravité qui sera choisi), puis d'effectuer une homothétie de même rapport k < 1 de centre ce centre et de relier les nouveaux sommets, en faisant apparaître A₀ faces parallélogrammes, et S₀ faces d'ordre le degré du sommet correspondant .
Avec cette méthode, une "face" sommitale est plane ssi les centres des faces aboutissant à ce sommet sont coplanaires, ce qui est assuré si ce sommet est de degré 3.

Le cas limite k = 0 donne alors un dual du polyèdre de départ.

Exemples : les 5 polyèdres réguliers fournissent, par chanfreinage, 3 des 13 polyèdres archimédiens :

Polyèdre de départ Polyèdre chanfreiné Rapport d'homothétie k

tétraèdre régulier
cuboctaèdre k = 1/4

cube et octaèdre régulier
rhombicuboctaèdre en partant du cube, et
en partant de l'octaèdre.

dodécaèdre régulier et icosaèdre régulier
rhombicosidodécaèdre en partant du dodécaèdre, et en partant de l'icosaèdre.

Autres exemples :

Prisme pentagonal
orthobicoupole pentagonale allongée solide de Johnson J38

Icosaèdre tronqué et son dual
Contrairement aux apparences, le polyèdre obtenu n'est pas à faces régulières
(sinon, la somme des angles autour d'un sommet d'un hexagone serait égale à 360°)

Dodécaèdre adouci, triaki-icosaèdre, hexaki-icosaèdre

Voir aussi les polyèdres adoucis.

Cristaux de fluorine, formant des cubes tronqués aux arêtes (photo, Alain Esculier)

Sculpture en cube tronqué aux arêtes et fortement tronqué aux sommets

Animation de la troncature des arêtes du cube

polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

polyèdre tronqué aux sommets	polyèdre tronqué aux arêtes	polyèdre tronqué aux arêtes et aux sommets	polyèdre tronqué aux arêtes et fortement tronqué aux sommets

Chaque sommet est tronqué par un plan perpendiculaire à l'axe de la rotation laissant le polyèdre invariant, créant S faces polygonales régulières d'ordre le degré des sommets.	Chaque arête est tronquée par un plan parallèle à l'arête et perpendiculaire au plan bissecteur des deux faces correspondantes, créant A faces hexagonales. Le nombre de sommets augmente de 2A, et celui d'arêtes de 3A.	Combinaison des deux précédentes ; il y a création de S faces polygonales régulières d'ordre le degré des sommets et de A faces rectangulaires.	Combinaison des deux premières ; il y a création de S faces polygonales régulières d'ordre le double du degré des sommets et de A faces rectangulaires ; les F faces doublent leur nombre d'arêtes.

Polyèdre de départ	Polyèdre chanfreiné	Rapport d'homothétie k
tétraèdre régulier	cuboctaèdre	k = 1/4
cube et octaèdre régulier	rhombicuboctaèdre	en partant du cube, et en partant de l'octaèdre.
dodécaèdre régulier et icosaèdre régulier	rhombicosidodécaèdre	en partant du dodécaèdre, et en partant de l'icosaèdre.

Prisme pentagonal	orthobicoupole pentagonale allongée solide de Johnson J38
Icosaèdre tronqué et son dual	Contrairement aux apparences, le polyèdre obtenu n'est pas à faces régulières (sinon, la somme des angles autour d'un sommet d'un hexagone serait égale à 360°)
Dodécaèdre adouci, triaki-icosaèdre, hexaki-icosaèdre