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CUBE ADOUCI
Snub cube, abgeschrägter Wurfel

                    .
Anaglype à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite).

Programme Maple de tracé.

 
Autre nom : cube camus.

 
Famille polyèdre semi-régulier ou polyèdre archimédien
Historique solide connu d'Archimède (IIIe s. av. J.C.)
Dual icositétraèdre pentagonal
Faces 32 triangles et 6 carrés
Sommets 24 sommets de degré 5, de code de Schläfli 34.4 
Arêtes 60 arêtes de longueur a ; 
angle dièdre entre un carré et un triangle  ; entre deux triangles : ,
où t est la constante de Tribonacci, unique racine réelle de .
Patron et graphe
Diamètres sphère inscrite dans les carrés :  ; dans les triangles : ; 
intersphère (tangente aux arêtes) :  ; sphère circonscrite : .
Mensurations volume :   aire : 
coefficient isopérimétrique : .
Coordonnées des sommets voir en.wikipedia.org/wiki/Snub_cube
Construction adoucissement du cube ou de l'octaèdre

Les carrés jaunes sont obtenus à partir d'une face du cube par similitude directe de rapport  et d'angle  où r est l'unique racine réelle de  et t est la constante de Tribonacci, définie ci-dessus.
Voir sur cette page une excellente animation de la construction.
Remarquons qu'on passe du rhombicuboctaèdre au cube adouci en "partageant" les carrés verts en deux triangles : 
Plans de symétrie Aucun ; le cube adouci est donc "chiral" : voir les 2 versions ci-dessus.
Axes de rotation

3 axes passant par les centres de 2 carrés opposés
(2 rotations d'ordre 4  par axe et une d'ordre 2)
4 axes passant par les centres de 2 triangles opposés (2 rotations d'ordre 3  par axe)

6 axes passant par 2 milieux d'arêtes opposés (1 rotations d'ordre 2  par axe)
Groupe des isométries = groupe des rotations du cube ou de l'octaèdre (pas d'isométrie négative).
Remarque Contrairement à ce qui se passe pour les polyèdres semi-réguliers non "adoucis", le groupe des isométrie n'agit pas transitivement sur les faces de même type.

 
Le problème des dictateurs ennemis consiste à se demander comment sont disposées sur une sphère n calottes sphériques identiques (les empires de chaque dictateur) de taille maximale et ne se chevauchant pas.
Dans le cas n = 24, il a été démontré que la réponse optimale consiste à disposer les dictateurs aux sommets d'un cube adouci.
Sources : Marcel Berger, Pour la Science n° 176, p. 72 et Dossier Pour la Science n° 41 p. 40.

Voir aussi le dodécaèdre adouci.
 
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© Robert FERRÉOL 2008