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DUAL D'UN POLYTOPE
Dual of a polytope, Dual eines Polytops



Si (P) est un polytope de dimension n, notons  l'ensemble formé des ensembles des sommets de toutes les k-cellules de (P), pour k allant de 1 à n (la 1-cellule étant par convention l'ensemble vide) ;
deux polytopes (P) et (P*) sont alors dits combinatoirement duaux s'il existe une dualité de  dans , c'est-à-dire une bijection envoyant les k-cellules de l'un sur les (n k 1) cellules de l'autre qui renverse les inclusions (autrement dit, si C1 est une cellule de C2, elle-même cellule de (P) , C2* est une cellule de C1* (l'existence d'une bijection conservant les types de cellules et leurs inclusions signifiant l'équivalence combinatoire des polytopes).
Dans une dualité, les sommets de l'un des polytopes corespondent donc aux hyperfaces de l'autre.
Un dual d'un dual est un polytope équivalent au polytope de départ.

Par exemple, si (P)  est un carré ABCD, = { {}, {A},{B},{C},{D},{A,B},{B,C},{C,D},{D,A},{A,B,C,D}}, (P)  est auto-dual par la dualité définie par 

Exemples :
    - les polygones sont auto-duaux
    - voir la page spécifique des duaux des polyèdres, des polychores.
    - l'hypertétraèdre est auto-dual, le dual de l'hypercube est le cocube.
 
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© Robert FERRÉOL 2009