polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

ICOSITÉTRAÈDRE TRAPÉZOÏDAL
Trapezoidal icositetrahedron, Deltoidikositetraeder

Famille polyèdre semi-régulier de deuxième espèce
Historique étudié par Catalan en 1862
Etymologie icositétra = 24 ; les faces ne sont pas des trapèzes, mais ressemblent à des trapèzes...
Autres noms icositétraèdre deltoïdal, icositétraèdre tétragonal
Dual rhombicuboctaèdre
Faces 24 cerfs-volants formés de deux triangles isocèles d'angles au sommet  et 
Sommets 26, dont 8 sommets de degré 3, de code de Schläfli 43 et 18 = 6 + 12 sommets de degré 4 de code 44.
Arêtes 48, dont 24 arêtes de longueur 
et 24 arêtes de longueur 
angle dièdre : 
Patron et graphe
Diamètres sphère inscrite
sphère circonscrite aux sommets de degré 3 : , aux sommets de degré 4 : 2a.
Mensurations volume :   aire : .
coefficient isopérimétrique : .
Construction
Cuboctaèdre.augmenté sur chaque face d'une pyramide droite (6 pyramides carrées et 12 triangulaires)
La somme d'un cuboctaèdre (en jaune ci-contre) et de son dual le dodécaèdre rhombique (en rouge ci-contre) donne un polyèdre qui est seulement équivalent à l'hexacontaèdre trapézoïdal (il est inscrit dans une sphère, non circonscrit)
Autre construction : prenez trois élastiques et ficelez un cube en passant par le milieu des arêtes ; ensuite, il faut tirer sur les élastiques...
Idem avec un octaèdre :
Coordonnées 
des sommets
12 sommets du cuboctaèdre :  et permutés
8 sommets des pyramides triangulaires :  et permutés (formant un cube)
6 sommets des pyramides carrées :  et permutés (formant un octaèdre)
Groupe des isométries  = celui du cube

 
Si l'on tourne la calotte supérieure d'un huitième de tour (noter ci-contre que le sommet de degré 3 central est à l'aplomb d'un sommet de degré 4 et non 3), on obtient un polyèdre à faces isométriques et sommets réguliers qui n'est pas semi-régulier : le gyro-icositétraèdre trapézoïdal, lui-même dual du gyro-rhombicuboctaèdre. Il n'est pas semi-régulier car les sommets de degré 4 ne sont pas isométriques entre eux.
 

 
 
L'intersection de 4 cylindres de révolution pleins dont les axes sont les diagonales d'un cube forme un solide dont la surface a une structure d'icositétraèdre trapézoïdal (chaque cylindre forme un ruban composé de 6 "faces" du (faux) polyèdre) :

Figure réalisée par Alain Esculier
Cristal de leucite, en forme d'icositétraèdre trapézoïdal


 
polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL 2014