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PAVAGE DE DIANE et son dual
Diana tiling and its dual, Parkettierung der Diana und ihr Dual

Autres noms : pavage rhombitrihexagonal, rhombihexadeltillage, pavage hexagonal (ou hexillage) chanfreiné, pavage triangulaire (ou deltillage) chanfreiné.
Site : Wikipedia anglais.
Lien vers une belle réalisation suédoise.
Autres liens : 1 , 2 , 3 , 4, 5
Animations de cette page réalisées par Alain Esculier.

 
Le pavage de Diane est le pavage d'Archimède (semi-régulier) obtenu par chanfreinage (troncature des arêtes et des sommets) à partir du pavage triangulaire ou du pavage hexagonal.

Ci-dessous, animation de ce chanfreinage, en partant du pavage triangulaire, et aboutissant au pavage hexagonal. Le pavage de Diane est obtenu lorsque les rectangles sont des carrés.

Autre construction, à partir d'hexagones et triangles articulés.
La position intermédiaire est le pavage hexagonal adouci.

 
Comme pour le rhombicuboctaèdre, on peut tourner d'un huitième de tour certains octogones du pavage de Diane, mais contrairement au cas du gyro-rhombicuboctaèdre, les sommets ne sont alors plus tous du même type.
Remplaçons les octogones par des cercles !
On obtient la figure de gauche.
Les cercles sont centrés aux sommets d'un réseau triangulaire, et leurs rayons sont égaux au 2/3 du côté des triangles.

Prenons maintenant des cercles centrés aux sommets d'un réseau carré de rayons 0,85 fois le côté des carrés. Même si on remplace les arcs de cercle par des segments de droite, les hexagones et les triangles ne sont pas réguliers.

 

Une façon originale de construire le pavage de Diane : comme arbre de Pythagore!
Au lieu de poser des triangles rectangles sur les carrés, on pose des triangles isocèles.
Le pavage de Diane est très proche du pavage sphérique associé au rhombicosidodécaèdre (les hexagones deviennent des pentagones) et à celui associé au rhombicuboctaèdre (les hexagones deviennent des carrés).

Le pavage de Diane se retrouve dans de nombreuses oeuvres artistiques anciennes ou récentes :
 
Tout d'abord dans le temple romain de Diane à Nimes, d'où son nom. Dallage dans une église de Séville.
(Source : wikipedia)
Fenêtre ouvragée à la mosquée neuve d'Istanbul.

Pavage islamique du type Diane situé dans un mausolée, à Multan au Pakistan. Ci-dessus, pavage islamique formé d'hexagones entrelacés à la médersa Al-Mustansiriyyah de Bagdad.
Ce n'est pas un pavage semi-régulier, mais il est très proche du pavage de Diane (remplacer les petits hexagones par des triangles, cf. ci-dessus).
Autre variante, avec un chanfreinage intermédiaire, à la médersa d'Ulugh Beg à Samarcande (photo Alain Juhel).
On retrouve le pavage de Diane sur l'immeuble Deneux au 185 rue Belliard à Paris. Dallage situé à l'abbaye de Fountains (Grande-Bretagne) Jeu dénommé Kensington.
Version circulaire et entrelacée "dessus-dessous". Chaque boucle est prisonnière de ses 6 voisines.
Création de David Wade.
Version circulaire et entrelacée de sorte que chaque boucle soit libre de chaque autre. Trois boucles rouge, bleu, vert contiguës forment un entrelacs borroméen. Création d'Alain Esculier. Version mixte cercles/hexagones entrelacée dessus-dessous.
Détail de la décoration du minbar de la basilique/mosquée Sainte-Sophie à Istanbul (photo Alain Juhel).
Mosquée Sehzade Camii, Istanbul (photo Alain Juhel). Création de David Wade Idem.

 
Le dual du pavage de Diane est le pavage deltoïdal trihexagonal dont la pièce de base est un cerf-volant à deux angles droits et deux angles de 60°/120°. Ce dernier peut être vu comme un pavage triangulaire dont les triangles sont partagés en 3 par les hauteurs, ou un pavage hexagonal dont les hexagones sont partagés en 6 par les hauteurs.

 
Une grille dont la trame de base est le pavage deltoïdal trihexagonal a été réalisée par Pascal Pinaud autour d'un stade à Paris en 2012.
Cette grille est agrémentée de motifs tous différents !


Assiette "noura"

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© Robert FERRÉOL 2017