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POLYTOPE DE DIMENSION 4 (ou POLYCHORE) RÉGULIER
Regular polychoron, regulärer Polychor


Objets étudiés par Ludwig Schläfli à partir de 1850, par W. Stringham en 1880 et Alicia Boole Stott en 1900.
Autres sites :
en.wikipedia.org/wiki/Convex_regular_4-polytope
home.comcast.net/~eswab/hyprspac.html
www.sub.uni-hamburg.de/opus/volltexte/2004/2196/pdf/Dissertation.pdf
web.archive.org/web/20070204075028/members.aol.com/Polycell/uniform.html
www.csd.uwo.ca/~morey/CogEng/Polyvise.html

Un polytope de dimension 4 est dit régulier si toutes ses cellules sont des polyèdres réguliers de même type et si tous ses sommets reçoivent le même nombre de cellules.

Il existe à similitude près six 4-polytopes réguliers (théorème de Schläfli), qui sont donc les analogues quadridimensionnels des polyèdres de Platon. Chaque polytope est apparenté à un polyèdre régulier (d'où son nom : "hyper" suivi du nom du polyèdre) sauf un : l'hypergranatoèdre.

Rem : le symbole de Schläfli du polytope est une expression de la forme {p, q, r} où r est le nombre de polyèdres entourant chaque arête, et {p,q} le symbole de Schläfli de ces polyèdres.
 
 
nom
symbole de Schläfli
base de calotte
nombre de sommets
nombres d'arêtes
nombre de faces 
nombre de cellules
remarque
hypertétraèdre
(ou simplexe) 4D 
ou pentachore
ou 5 cellules
{3, 3, 3}
tétraèdre
5
10
10 triangles
5 tétraèdres
autodual
hypercube 4D
ou tesseract ou octachore
ou 8 cellules
{4, 3, 3}
tétraèdre
16
32
24 carrés
8 cubes
dual du suivant
hyperoctaèdre 4D ou 4-cocube, ou hexadécachore
ou 16 cellules
{3, 3, 4}
octaèdre
8
24
32 triangles
16 tétraèdres
dual du précédent
hypergranatoèdre
ou icositétrachore
ou 24 cellules
{3, 4, 3}
cube
24
96
96 triangles
24 octaèdres
autodual
hyperdodécaèdre
ou hécatonicosachore
ou 120 cellules
{5, 3, 3}
tétraèdre
600
1200
720 pentagones
120 dodécaèdres
dual du suivant
hypericosaèdre
ou hexacosichore
ou 600 cellules
{3, 3, 5}
icosaèdre
120
720
1200 triangles
600 tétraèdres
dual du précédent

Il est remarquable qu'en dimension supérieure ou égale à 5, il n'existe plus que 3 polytopes réguliers.

Données du polychore régulier en fonction du symbole de Schläfli {p, q, r} :

Pour chaque sommet :
 
Nombre d'arêtes nombre de faces nombre de cellules

 Relations entre les nombres totaux de sommets S, arêtes A, faces F, cellules C :
.

Voir aussi les polychores semi-réguliers et les polychores réguliers étoilés.
 
 
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© Robert FERRÉOL 2012