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POLYTOPE RÉGULIER
Regular polytope, regulärer Polytope
| Notion étudiée par Ludwig Schläfli.
Autre site : en.wikipedia.org/wiki/Regular_polytope |
Un polytope est dit régulier si toutes ses hyperfaces sont des polytopes réguliers de même type et si tous ses sommets reçoivent le même nombre d'hyperfaces (cette définition est une définition récursive, partant de celle des polygones réguliers).
Il existe 3 familles de polytopes réguliers en
toute dimension :
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nom
|
symbole
de Schläfli
|
nombre
de sommets
|
nombres
de k-cellules
|
nombre
d'hyperfaces
|
remarque |
|
{3,
3, ....,3}
|
n
+1
|
simplexes de dimension k |
n
+1
simplexes de dimension n - 1
|
autodual | |
|
{4,
3, ....,3}
|
2n
|
 hypercubes
de dimension k |
2n
hypercubes de dimension n-1
|
dual du suivant | |
|
hyperoctaèdre,
ou cocube |
{3,
...., 3, 4}
|
2n
|
 |
2n
|
dual du précédent |
Il est remarquable qu'en dimension supérieure ou égale à 5, il n'existe que ces 3 polytopes réguliers, alors qu'il en existe une infinité en dimension 2, 5 en dimension 3, et 6 en dimension 4.
Il n'existe pas non plus de polytope régulier croisé
en dimension supérieure ou égale à 5.
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© Robert FERRÉOL 2005