Polyèdres étudiés par Catalan.

Un polyèdre semi-régulier de seconde espèce est un polyèdre tel que pour tout couple de faces, il existe une isométrie conservant globalement le polyèdre et transformant une face en l'autre, autrement dit, tel que le groupe des isométries du polyèdre agit transitivement sur l'ensemble des faces.
Plus concrètement, cela se traduit par le fait que si l'on fabrique un boite moulant entièrement le polyèdre,
le polyèdre pourra toujours y être rangé en plaçant l'une de ses faces au hasard.
Cela se traduit aussi physiquement par le fait que si l'on lance un dé polyédrique semi-régulier de seconde espèce homogène, chaque face est équiprobable.

Les polyèdres semi-réguliers de seconde espèce sont les polyèdres;duaux des polyèdres semi-réguliers, le dual étant obtenu par polarité par rapport à une sphère centrée au centre du polyèdre semi-régulier.

Une condition nécessaire et "quasi"- suffisante pour qu'un polyèdre soit semi-régulier de seconde espèce est
    1) d'avoir des faces isométriques entre elles
    2) d'avoir des sommets réguliers en ce sens que tous les angles des faces et des dièdres arrivant à un même sommet sont égaux
    3) d'avoir une sphère tangente intérieurement à toutes les faces pleines (autrement dit, le polyèdre est circonscriptible)

Un seul polyèdre vérifie ces 3 propriétés sans être semi-régulier de seconde espèce : le dual du pseudo-rhombicuboctaèdre.
 

Il existe deux familles infinies de polyèdres semi-réguliers de seconde espèce : les diamants à sommets réguliers et les antidiamants à sommets réguliers ; il reste exactement 16 autres polyèdres semi-réguliers de deuxième espèce, à isométries près : les 3 polyèdres réguliers de Platon restants (l'octaèdre étant un diamant et le cube un antidiamant), et les 13 polyèdres de Catalan.

Voici les premiers diamants et antidiamants semi-réguliers de seconde espèce :

triangulaires	carrés	pentagonaux	hexagonaux
	octaèdre	à ne pas confondre avec la bipyramide pentagonale à faces régulières dont les angles dièdres ne sont pas égaux
cube

 
 

polyèdre suivant

polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2005