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POLYCHORE SEMI-RÉGULIER
Semi-regular polychoron, halbregulares Polychor


http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_polychoron
http://polytope.net/hedrondude/polychora.htm

Un polychore semi-régulier est un polychore ou polytope de dimension 4 tel que pour tout couple de sommets, il existe une isométrie conservant globalement le polychore et transformant un sommet en l'autre, autrement dit, tel que le groupe des isométries du polychore agit transitivement sur l'ensemble des sommets.
 

Cette définition implique les propriétés suivantes :
Un polychore semi-régulier est convexe, inscriptible, et
    - concernant les faces :
    1) toutes les faces sont régulières (il est donc IFR et CFR )
    - concernant les sommets :
    2a) tous les sommets ont même degré
    2b) les angles solides aux sommets sont tous égaux
    2c) tous les sommets sont isométriques en ce sens que les figures formées par les demi-droites
     issues de chaque sommet sont isométriques.
    - concernant les arêtes
    3) toutes les arêtes ont même longueur

Une condition nécessaire et "quasi"- suffisante pour qu'un polychore soit semi-régulier est

    1) d'être convexe
    2) d'avoir des cellules semi-régulières
    3) d'avoir des sommets identiques
    4) d'être inscriptible

Un seul polyèdre vérifie ces 3 propriétés sans être semi-régulier : le pseudo-rhombicuboctaèdre.
 

Il existe deux familles infinies de polychores semi-réguliers : les hyperprismes  et les antihyperprismes à faces régulières et exactement 16 autres polyèdres semi-réguliers, à isométries près : les 3 polyèdres réguliers de Platon restants (le cube étant un prisme et l'octaèdre un antiprisme), et les 13 polyèdres d'Archimède.

Voici les premiers prismes et antiprismes semi-réguliers :

La même définition s'applique aussi aux polychores étoilés, auquel cas on remplace souvent l'appellation "semi-régulier" par "uniforme".
Il existe deux familles infinies de polyèdres semi-réguliers : les prismes  et les antiprismes étoilés à faces régulières et exactement 57 autres polyèdres étoilés semi-réguliers, à isométries près : les 4 polyèdres de Kepler-Poinsot , et les 53 polyèdres de Badoureau-Coxeter.

Voir aussi les polyèdres semi-réguliers de seconde espèce.
 
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© Robert FERRÉOL 2009