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POLYÈDRE SEMI-RÉGULIER
Semi-regular polyhedron, halbregulares Polyeder


Autre appellation : polyèdre isogonal.
Démonstration de la classification des polyèdres semi-réguliers : exercice 14 de cette page.

Un polyèdre semi-régulier (de première espèce) est un polyèdre "sommets-transitif", c'est-à-dire, tel que pour tout couple de sommets, il existe une isométrie de l'espace conservant globalement le polyèdre et transformant un sommet en l'autre. Autrement dit, le groupe des isométries du polyèdre agit transitivement sur l'ensemble des sommets.
Plus concrètement, cela se traduit par le fait que si l'on fabrique une boîte moulant entièrement le polyèdre, le polyèdre pourra toujours y être rangé en plaçant l'un des sommets au hasard (attention, les angles des faces arrivant à un sommet ne sont par contre pas forcément égaux, il faudra peut-être tourner le polyèdre sur lui-même pour qu'il s'encastre).

Cette définition implique les propriétés suivantes :
Un polyèdre semi-régulier est convexe, inscriptible, et
    - concernant les faces :
        1) toutes les faces sont régulières (il est donc IFR et CFR )
    - concernant les sommets :
        2a) tous les sommets ont même degré
        2b) les angles solides aux sommets sont tous égaux
        2c) tous les sommets sont isométriques en ce sens que les figures formées par les demi-droites
     issues de chaque sommet sont isométriques.
    - concernant les arêtes
        3) toutes les arêtes ont même longueur

Une condition nécessaire et "quasi"- suffisante pour qu'un polyèdre soit semi-régulier est

    1) d'être convexe à faces régulières
    2) d'avoir des sommets identiques (en ce sens que deux sommets quelconques reçoivent des faces 2 à 2 du même type et dans le même ordre)
    3) d'être inscriptible

Un seul polyèdre vérifie ces 3 propriétés sans être semi-régulier : le gyro-rhombicuboctaèdre.
 

Il existe deux familles infinies de polyèdres semi-réguliers : les prismes  et les antiprismes à faces régulières et exactement 16 autres polyèdres semi-réguliers, à isométries près : les 3 polyèdres réguliers de Platon restants (le cube étant un prisme et l'octaèdre un antiprisme), et les 13 polyèdres d'Archimède.

Voici les premiers prismes et antiprismes semi-réguliers :

cube

octaèdre

La même définition s'applique aussi aux polyèdres étoilés, auquel cas on remplace souvent l'appellation "semi-régulier" par "uniforme".
Il existe deux familles infinies de polyèdres semi-réguliers étoilés : les prismes  et les antiprismes étoilés à faces régulières et exactement 57 autres polyèdres étoilés semi-réguliers, à isométries près : les 4 polyèdres de Kepler-Poinsot , et les 53 polyèdres de Badoureau-Coxeter.

Voir aussi les polyèdres semi-réguliers de seconde espèce.
 
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© Robert FERRÉOL 2016