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ZONOÈDRE
Zonohedron, Zonoeder


Notion étudiée par Fedorov en 1893, par Donchian en 1930.
Autre nom : zonaèdre.
Liens : 
www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/ukraine/ukraine.html
www.northforktrails.com/RussellTowle/Zonohedra/zonohedra.html
www.archilibre.org/revolution/planeteZOME/geometrie/geo.html
www.georgehart.com/virtual-polyhedra/dissection-re.html
maths.ac-noumea.nc/polyhedr/p_rhomb.htm

Un zonoèdre est un polyèdre convexe dont toutes les faces ont un centre de symétrie (les faces sont donc des zonogones).
Le zonoèdre est dit équilatéral si toutes ses arêtes ont la même longueur. C'est le cas des polyèdres convexes dont toutes les faces sont des losanges, appelés polyèdres rhombiques, ou rhombizonoèdres (le terme rhomboèdre étant réservé au parallélépipède à faces losanges).
 
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un polyèdre plein soit un zonoèdre est qu'il soit obtenu comme somme de Minkowski d'un certain nombre p de segments non coplanaires. 
Concrètement cela signifie que le zonoèdre plein est obtenu en partant d'un point par une succession de p translations, en conservant la trace de ces translations.
Ceci étant justement la façon dont est obtenue un hyperparallélépipède de dimension p, un zonoèdre plein est donc un polyèdre plein qui est projection tridimensionnelle (affine) d'un parallélotope de dimension p plein.
Notons qu'un zonoèdre a un centre de symétrie, mais que la réciproque est fausse, comme le montre l'octaèdre.

Premier cas : les p segments sont deux à deux non coplanaires.
Le zonoèdre possède alors  faces parallélogrammiques (les divers parallélogrammes construits en prenant deux segments parmi les p, répétés deux fois par symétrie).
On en déduit qu'il possède  arêtes et  sommets.
De plus on montre que le zonoèdre plein peut être pavé par des parallélépipèdes, translatés des parallélépipèdes construits en choisissant 3 segments parmi les p segments de base.
Enfin, la surface du zonoèdre est recouverte par p zones (d'où son nom) formées chacune de 2(p1) parallélogrammes, parallélogrammes dont deux côtés ont la même direction. Chaque parallélogramme est traversé par deux zones.
On peut étirer où contracter des zones (de sorte par exemple à rendre le zonoèdre équilatéral).
La contraction complète d'une zone donne un p1-zonoèdre.

Pour illustrer les cas particuliers suivants, nous avons choisi le cas où le k-ième segment est image du premier d'entre eux par rotation de k+1 p-ième de tour, de sorte que le zonoèdre est équilatéral et possède une symétrie de rotation d'ordre p ; on le désigne par p-rhombizonoèdre polaire.
 
 
Pour p = 3, on obtient les parallélépipèdes, 3 zones de 4 faces.
Pour p = 4, on obtient des polyèdres équivalents au dodécaèdre rhombique, 4 zones de 6 faces, pavage par 4 parallélépipèdes.
Pour p = 5, on obtient des icosaèdres :, 5 zones de 8 faces, pavage par 10 parallélépipèdes.

Il y a deux sommets de degré 5, 10 sommets de degré 3, et 10 de degré 4.

Et pour p = 6, on obtient des triacontaèdres :, 6 zones de 10 faces, pavage par 15 parallélépipèdes.

Attention : le triacontaèdre rhombique polaire ci-contre, qui a deux sommets de degré 6, 12 sommets de degré 3, et 18 sommets de degré 4 n'est pas équivalent au triacontaèdre rhombique semi-régulier qui a 20 sommets de degré 3 et 12 sommets de degré 5.
 

 

Deuxième cas : il y a des segments coplanaires.
q segments coplanaires vont faire apparaître deux faces q-zonogones symétriques, en remplacement de q(q1)/2 paires de parallélogrammes symétriques.

Exemples :

1) p1 segments coplanaires et le p-ième non coplanaire donne un prisme de base un p1-zonogone.
 
 
2) L'octaèdre tronqué.
6 vecteurs ayant 4 groupes de 3 vecteurs coplanaires, donnent un zonoèdre possèdant 4 paires de faces opposées hexagonales. Le 6-zonoèdre à 30 faces dégénère donc dans ce cas en un polyèdre à 30 3.8 +8  = 14 faces ; par exemple, les vecteurs a,b,c,ab,bc,ca, avec a=(1, 1, 0), b=(1, 0, 1), c=(0, 1, 1), donnent par exemple l'octaèdre tronqué.

Recréons le triacontaèdre en tracant 3 losanges dans chaque carré.
Un sommet de degré 3 sur 2 parmi les 24 devient de degré 5, et 8 sommets de degré 3 nouveaux sont créés. On obtient donc 12 sommets de degré 5 et 20 sommets de degré 3 : polyèdre équivalent au triacontaèdre rhombique.
 

3) Le dodécaèdre rhombique allongé, ou dodécaèdre rhombo-hexagonal.

On prend les 4 vecteurs engendrant le dodécaèdre rhombique, auxquels on adjoint les deux tiers de leur somme : (0,rac(3),1),(rac(3),0,1),(0,rac(3),1),(rac(3),0,1),(0,0,2).

Attention, les hexagones sont des zonogones équilatéraux, mais ne sont pas réguliers.

4) L'icosidodécaèdre tronqué.

Ci dessous les 15 vecteurs de base.
(1,f,f-1),(1,-f,f-1),(1,-f,1-f),(1,f,1-f),(f,1-f,1),(f,1-f,-1),(f,f-1,-1),(f,f-1,1),(f-1,1,f),(f-1,-1,-f),(f-1,1,-f),(f-1,-1,f),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)

Voir aussi la page sur les paralléloèdres (zonoèdres pavant l'espace), et la généralisation aux zonotopes.

Rhombizonoèdre polaire, par Alain Esculier.


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© Robert FERRÉOL 2015