CLASSIFICATION DES SURFACES CUBIQUES RÉGLÉES

Traduction de

Jessop , C. M, A treatise on the line complex, New York : Chelsea Pub. Co , [1969], page 76 :

Un plan passant par une génératrice D d'une surface réglée de degré n rencontre également la surface en une courbe de degré n 1, et D rencontre cette courbe en n 1 points, alors que par chaque point de la surface réglée, et par conséquent de cette courbe, passe en général seulement une génératrice ; ainsi lorsque nous avançons sur la courbe il y a une génératrice pour chaque point ; D est elle-même la génératrice pour un point, alors que pour chacune des n 2  intersections restantes de D et de la courbe il y a deux génératrices, à savoir, D elle-même et la génératrice correspondant au point ; ces n - 2 points sont donc des points doubles de la surface ; sur chaque génératrice il y a n - 2 points doubles qui se trouvent sur une courbe double de la surface. Dans le cas d'une surface cubique réglée, cette courbe double doit être une droite, car sinon la droite joignant deux points quelconques de la courbe double rencontrerait la surface en quatre points.

Cas des cubiques réglées.

Pour une cubique réglée, la droite double D2 peut être (i) une directrice double, ou (ii) une génératrice et une directrice simple, en désignant par directrice d'une surface réglée une courbe qui rencontre chaque génératrice. Dans le premier cas, n'importe quelle section de la surface par un plan passant par une génératrice D se compose de D et d'une conique (C) ; un des points d'intersection de D et de (C) est, par ce qui précède, un point K de D2 ; les deux génératrices passant par n'importe quel point P de D2 rencontrent  (C) en des points X et X` ce qui constitue une involution sur (C) ; par conséquent toutes les droites (XX) doivent se couper en un même point O ; ainsi les plans des deux génératrices passant par chaque point de D2 contiennent O, et par conséquent celui de K contient O, ce qui exige que O doit se trouver sur D. Le plan PXX coupe la surface en les droites (PX), (PX) et par conséquent aussi en une autre droite D1 qui doit rencontrer D en O ; cette droite D1 est la même pour chaque plan PXX puisque si deux droites D1 passaient par O,  la droite XOX rencontrerait la surface en quatre points ; ainsi les plans de la paire de génératrices passant par chaque point de D forme un faisceau dont l'axe D1 est une directrice simple de la surface. Ces plans sont les plans bitangent de la surface. Il y a une homographie entre les points de D1 et de (C) engendrée par les génératrices, ce qui constitue le moyen le plus simple de construire la surface.

Le deuxième cas pour lequel D2 est une directrice simple est obtenu par la coïncidence de D2 et de D1 ; cette surface (dite de Cayley) est obtenue par l'établissement dune homographie entre les points d'une conique et dune droite qui la rencontre.

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