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\begin{document}


\textbf{\LARGE BCPST 2\hfill 2007-2008}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\LARGE Devoir 4}

\bigskip 
\end{center}

\textit{A rendre le vendredi 26 octobre }

\bigskip 

Un ascenseur dessert n \'{e}tages d'un immeuble. A chaque voyage, le nombre
de personnes qui montent au rez-de-chauss\'{e}e pour aller dans les \'{e}%
tages sup\'{e}rieurs est une variable al\'{e}atoire $N$ suivant la loi de
Poisson de param\`{e}tre $\lambda $, r\'{e}el strictement positif.

On \'{e}met les hypoth\`{e}ses suivantes :

-\qquad Il n'y a pas d'appel \`{a} d'autres \'{e}tages que le rez-de-chauss%
\'{e}e et il n'y a pas de personnes montant dans l'ascenseur \`{a} des \'{e}%
tages sup\'{e}rieurs, c'est-\`{a}-dire que les arr\^{e}ts sont seulement dus
aux personnes entr\'{e}es dans l'ascenseur au rez-de-chauss\'{e}e.

-\qquad Chaque personne choisit son \'{e}tage d'arriv\'{e}e au hasard et ind%
\'{e}pendamment des autres passagers (ces choix se font dans l'ordre d'entr%
\'{e}e des passagers dans la cabine).

\bigskip 

On note $S$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre d'arr\^{e}ts de
l'ascenseur.

\bigskip 

\textbf{Partie 1}

\textbf{Dans cette partie, }$\mathbf{n=2}$\textbf{\ (Un ascenseur pour deux 
\'{e}tages? )}

\bigskip 

\textbf{1)} On note $N_{1}$ (respectivement $N_{2}$), la variable al\'{e}%
atoire \'{e}gale au nombre de passagers descendant \`{a} l'\'{e}tage $1$
(respectivement \`{a} l'\'{e}tage $2$).

\ \ \ a) Quelle est la loi conditionnelle de $N_{1}$ sachant $N=k$ ($k$
entier) ? 

\ \ \ b) D\'{e}terminer la loi du couple ($N_{1},N_{2}$).

\ \ \ c) En d\'{e}duire les lois de $N_{1}$ et de $N_{2}$ et montrer que ces
variables sont ind\'{e}pendantes.

\ \ d) D\'{e}terminer le coefficient de corr\'{e}lation lin\'{e}aire de $%
N_{1}$ et $N$ ( On pourra utiliser que $N=N_{1}+N_{2}$)

\bigskip 

\textbf{2)} D\'{e}terminer la loi de $S$ et v\'{e}rifier que c'est une loi
binomiale dont on d\'{e}terminera les param\`{e}tres. ( on pourra \'{e}crire
les \'{e}v\'{e}nement $(S=1)$ et $(S=2)$ \`{a} l'aide des \'{e}v\'{e}nements 
$(N_{1}=0)$ et $(N_{2}=0)$ )

\bigskip 

\bigskip 

\textbf{Partie 2 }

\textbf{Dans cette partie }$\mathbf{n}$\textbf{\ est un entier quelconque,
sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} }$\mathbf{3}$\textbf{.}

\qquad 

\textbf{1) }Pour tout entier $i$ de $\{1,..n\}$, on note $T_{i}$ la variable
indicatrice de l'\'{e}v\'{e}nement : $A_{i}$= \guillemotleft\ il y a arr\^{e}%
t \`{a} l'\'{e}tage $i$ \guillemotleft\ 

\ \ \ a) Montrer que $\forall k\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
,\quad P(T_{i}=0/N=k)=\left( \dfrac{n-1}{n}\right) ^{k}$. En d\'{e}duire que 
$T_{i}$ suit la loi de Bernoulli de param\`{e}tre $1-e^{-\dfrac{\lambda }{n}}
$

\ \ \ b) En d\'{e}duire la valeur de $E(S)$

\ \ \ c) Calculer pour $i\neq j$,\quad $P(\left( T_{i}=0\right) \cap \left(
T_{j}=0\right) /N=k)$, et en d\'{e}duire la loi de conjointe de $%
(T_{i},T_{j})$ et v\'{e}rifier l'ind\'{e}pendance de ces deux variables.

\ \ \ d) En d\'{e}duire la variance de $S$. Donner la limite de $E(S)$ et de 
$V(S)$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

\bigskip 

\textbf{2)} On note $M$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au plus haut 
\'{e}tage o\`{u} monte l'ascenseur.

\ \ \ a) Quelle est la valeur de $P(M=0)$ ?

\ \ \ b) Montrer que $\forall i\in \left\{ 0,..,n\right\} ,\quad P(M\leq
i)=e^{-\lambda }e^{\dfrac{\lambda i}{n}}$ 

\ \ \ c) Montrer que $E(M)=nP(M\leq n)-\sum_{i=0}^{n-1}P(M\leq i)$. En d\'{e}%
duire la valeur de $E(M)$ et d\'{e}terminer un \'{e}quivalent de $E(M)$
quand $n$ tend vers l'infini .

\end{document}
