surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

SURFACE APPLICABLE SUR UNE AUTRE
Applicable surface, abwickelbare Fläche

Une surface est dite applicable sur une autre (ou localement isométrique à une autre) si pour tout point de la première il existe une bijection d’un voisinage de ce point (dans la surface) sur une partie de la deuxième qui conserve la distance géodésique.

Si l’on peut trouver des paramétrisations de chacune de ces surfaces ayant leurs deuxièmes formes quadratiques fondamentales identiques, alors elles sont applicables l’une sur l’autre (voir les notations).

Exemples :
     - les surfaces de classe C2 applicables sur un plan sont les surfaces développables (elles sont donc réglées). Mais en raccordant des bouts de cônes, et de plans on peut construire des surfaces applicables sur un plan qui ne sont pas réglées (comme une feuille de papier froissée ou une bande de Möbius réalisée en papier - mais par contre pas la surface de Möbius).

     - les surfaces à courbure totale constante donnée sont applicables entre elles (et en particulier à une sphère si la courbure est positive, et à une pseudo-sphère si elle est négative).

     - Tout hélicoïde est applicable sur une surface de révolution (théorème de Bour) ; en particulier, l’hélicoïde droit est applicable sur le caténoïde.

Le "theorema egregium" (théorème merveilleux) de Gauss affirme que deux surfaces applicables ont même courbure totale aux points correspondants.
La réciproque en est fausse (cf [Audin], p. 270).
 
 
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© Robert FERRÉOL 2003