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CÔNE (OU SURFACE CONIQUE)
Cone, Kegel

Un cone de directrice une cardio´de

Nota : dans cet encadré, les fonctions notées f sont différentes !
Équation cartésienne d'un cône de sommet O : f(x, y, z) = 0 avec f homogène.
En particulier : z = f(x, y)  avec f homogène de degré 1.
Paramétrisation cartésienne :  (directrice gauche  ).
Dans ce cas, paramétrisation polaire plane du développement de la courbe pour u fixé : .
Équation cylindrique :  (directrice plane  , paramétrisation polaire du développement de cette directrice : 
Paramétrisation à partir des coordonnées polaires  du plan de développement du cône : .
  avec .
Paramétrisation des géodésiques (autres que les génératrices) : .

Un cône est une surface réglée dont les génératrices passent par un point fixe O (son sommet), autrement dit une surface globalement invariante par toute homothétie de centre O (de rapport  0). C'est une surface développable dont l'arête de rebroussement est réduite à un point.
Une courbe tracée sur le cône et rencontrant toutes les génératrices s'appelle une directrice du cône; il existe un unique cône de sommet et de directrice donnés.

Une surface algébrique d'équation f(x, y, z) = 0 est un cône de sommet O si et seulement si le polynôme f est homogène. Le degré de f est alors le degré du cône (comme surface algébrique).
Les sections de ce cône par les plans ne passant pas par O sont alors les diverses courbes (projectivement équivalentes) ayant pour équation homogène .

Exemples :
    - cône de révolution
    - cône elliptique
    - cône sinusoïdal
    - parapluie de Cartan
    - voir à selle pour singe
    - voir à quartique de Klein.

Comparer avec les conoïdes.
 
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© Robert FERRÉOL   2001