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SURFACE DE RÉVOLUTION A COURBURE TOTALE CONSTANTE
Surface of revolution with constant total curvature, Drehfläche mit konstanter totaler Krümmung


Darboux a étudié en 1890, les surfaces générales à courbure totale (ou gaussienne) constante.
Cette étude provient de [Gray] page 473 ; voir aussi [Valiron] page 467.

La définition de la surface étudiée ici tient dans son nom.

Premier cas : courbure totale positive, égale à .
 
Paramétrisation polaire : .
Première forme quadratique fondamentale : .
Rayon de courbure méridien : , rayon de courbure parallèle : .
Courbure totale : , courbure moyenne : .

 
 
Vue du cas 0 < k  < 1 Vue du cas k = 1, qui donne la sphère Vue du cas k  > 1

REM : toutes ces surfaces sont applicables à la sphère.

Deuxième cas : courbure totale négative, égale à .

On retrouve aussi 3 allures de surfaces, mais ayant cette fois 3 paramétrisations différentes.

Premier type : surface ayant un point conique :
 
 
Paramétrisation polaire : , 0 < k < 1.
Première forme quadratique fondamentale : .
Rayon de courbure méridien :, rayon de courbure parallèle : .
Courbure totale :, courbure moyenne : .

Deuxième type : surface ressemblant à un hyperboloïde :
 
 
Paramétrisation polaire : , k quelconque.
Première forme quadratique fondamentale : .
Rayon de courbure méridien : , rayon de courbure parallèle : .
Courbure totale : , courbure moyenne : .

Le troisième type étant celui de la pseudosphère auquelle sont applicables les précédentes.

REMARQUE 1 : le rayon de courbure méridien d'une surface de révolution étant celui du profil de cette surface, et le rayon de courbure parallèle étant la longueur du segment MN joignant le point M de la surface au point N d'intersection de la normale avec l'axe, les profils des surfaces étudiés ici ne sont autres que les courbes telles que la courbure est proportionnelle à la normale (ou ce qui est équivalent telles que le produit MI . MN est constant, I étant le centre de courbure).
Comparer avec les courbes élastiques.

REMARQUE 2 : les courbures principales d'une surface de révolution de profil paramétré par l'abscisse curviligne :  étant  et , l'équation des profils étudiés ici est l'équation très classique : .

Comparer ces surfaces avec les surfaces à courbure moyenne constante, ou surfaces de Delaunay.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2012