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SURFACE DE RÉVOLUTION
À COURBURE DE GAUSS CONSTANTE
Surface
of revolution with constant gaussian curvature, Drehfläche mit
konstanter gaussischen Krümmung
Surface étudiée par Minding en 1839.
Darboux a étudié en 1890, les surfaces générales à courbure de Gauss constante. Cette étude provient de [Gray] page 473 ; voir aussi [Valiron] page 467. |
La définition de la surface étudiée ici tient dans son nom.
Premier cas : courbure de Gauss positive, égale
à .
Paramétrisation polaire : .
Première forme quadratique fondamentale : . Rayon de courbure méridien : , rayon de courbure parallèle : . Courbure de Gauss : , courbure moyenne : . |
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Vue du cas 0 < k < 1 | Vue du cas k = 1, qui donne la sphère | Vue du cas k > 1 |
REM : toutes ces surfaces sont applicables à la sphère.
Deuxième cas : courbure totale négative, égale à .
On retrouve aussi 3 allures de surfaces, mais ayant cette fois 3 paramétrisations différentes.
Premier type : surface ayant un point conique :
Paramétrisation polaire : ,
0 < k < 1.
Première forme quadratique fondamentale : . Rayon de courbure méridien :, rayon de courbure parallèle : . Courbure de Gauss :, courbure moyenne : . |
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Deuxième type : surface ressemblant à un
hyperboloïde :
Paramétrisation polaire : ,
k
quelconque.
Première forme quadratique fondamentale : . Rayon de courbure méridien : , rayon de courbure parallèle : . Courbure de Gauss : , courbure moyenne : . |
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Le troisième type étant celui de la pseudosphère à laquelle sont applicables les précédentes.
REMARQUE 1 : le rayon de courbure méridien d'une
surface de révolution étant celui du profil de cette surface,
et le rayon de courbure parallèle étant la longueur du segment
MN
joignant le point M de la surface au point N d'intersection
de la normale avec l'axe, les profils des surfaces étudiés
ici ne sont autres que les courbes telles que la courbure est proportionnelle
à la normale (ou ce qui est équivalent telles que le
produit MI . MN est constant, I étant le centre
de courbure).
Comparer avec les courbes
élastiques.
REMARQUE 2 : les courbures principales d'une surface de révolution de profil paramétré par l'abscisse curviligne : étant et , l'équation des profils étudiés ici est l'équation très classique : .
REMARQUE 3 : excepté la sphère, les surfaces précédentes ont des points singuliers ou sont non bornées. On a en effet le théorème de Liebmann (1899) : la seule surface de classe C4 compacte de courbure de Gauss constante est la sphère.
Comparer ces surfaces avec les surfaces de révolution à courbure moyenne constante, ou surfaces de Delaunay, et avec les surfaces de révolution aux courbures proportionnelles.
Voir aussi la surface de Sievert, autre exemple de surface à courbure de Gauss constante positive.
Voir aussi la surface de
Dini, hélicoïde à courbure de Gauss constante négative.
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© Robert FERRÉOL 2019